Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52731 / 27147
↖ ↑ ↗
← N 29.482643°
E109.660034°		 ← 531.75 m → N 29.482643°
E109.665527°		 →
↑
531.72 m
↓
↑
531.72 m
↓
N 29.477861°
E109.660034°		 ← 531.77 m →
282 750 m²		 N 29.477861°
E109.665527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804618835449219 y=0.414237976074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804618835449219 × 216)
    floor (0.804618835449219 × 65536)
    floor (52731.5)     		tx = 52731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414237976074219 × 216)
    floor (0.414237976074219 × 65536)
    floor (27147.5)     		ty = 27147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52731 / 27147 ti = "16/52731/27147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52731/27147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52731 ÷ 216
    52731 ÷ 65536     		x = 0.804611206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27147 ÷ 216
    27147 ÷ 65536     		y = 0.414230346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804611206054688 × 2 - 1) × π
    0.609222412109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91392865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414230346679688 × 2 - 1) × π
    0.171539306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.538906625528671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91392865} λ = 1.91392865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.538906625528671))-π/2
    2×atan(1.71413164943081)-π/2
    2×1.04268276083422-π/2
    2.08536552166843-1.57079632675     		φ = 0.51456919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91392865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.660034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51456919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.482643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52731 KachelY 27147 1.91392865 0.51456919 109.660034 29.482643
    Oben rechts KachelX + 1 52732 KachelY 27147 1.91402453 0.51456919 109.665527 29.482643
    Unten links KachelX 52731 KachelY + 1 27148 1.91392865 0.51448573 109.660034 29.477861
    Unten rechts KachelX + 1 52732 KachelY + 1 27148 1.91402453 0.51448573 109.665527 29.477861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51456919-0.51448573) × R
    8.34600000000352e-05 × 6371000     		dl = 531.723660000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51456919-0.51448573) × R
    8.34600000000352e-05 × 6371000     		dr = 531.723660000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91392865-1.91402453) × cos(0.51456919) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.870504830467846 × 6371000     		do = 531.749164039315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91392865-1.91402453) × cos(0.51448573) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.870545903098978 × 6371000     		du = 531.77425331683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51456919)-sin(0.51448573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870504830467846-0.870545903098978)×R²
    abs(1.91402453-1.91392865)×4.10726311321774e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.10726311321774e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.10726311321774e-05×40589641000000     		ar = 282750.282150426m²