Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52721 / 21649
↖ ↑ ↗
← N 51.995028°
E109.605103°		 ← 376.08 m → N 51.995028°
E109.610596°		 →
↑
376.14 m
↓
↑
376.14 m
↓
N 51.991646°
E109.605103°		 ← 376.11 m →
141 466 m²		 N 51.991646°
E109.610596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804466247558594 y=0.330345153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804466247558594 × 216)
    floor (0.804466247558594 × 65536)
    floor (52721.5)     		tx = 52721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330345153808594 × 216)
    floor (0.330345153808594 × 65536)
    floor (21649.5)     		ty = 21649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52721 / 21649 ti = "16/52721/21649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52721/21649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52721 ÷ 216
    52721 ÷ 65536     		x = 0.804458618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21649 ÷ 216
    21649 ÷ 65536     		y = 0.330337524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804458618164062 × 2 - 1) × π
    0.608917236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91296992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330337524414062 × 2 - 1) × π
    0.339324951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06602077375081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91296992} λ = 1.91296992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06602077375081))-π/2
    2×atan(2.90380159617097)-π/2
    2×1.2391403818108-π/2
    2.47828076362159-1.57079632675     		φ = 0.90748444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91296992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.605103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90748444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.995028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52721 KachelY 21649 1.91296992 0.90748444 109.605103 51.995028
    Oben rechts KachelX + 1 52722 KachelY 21649 1.91306579 0.90748444 109.610596 51.995028
    Unten links KachelX 52721 KachelY + 1 21650 1.91296992 0.90742540 109.605103 51.991646
    Unten rechts KachelX + 1 52722 KachelY + 1 21650 1.91306579 0.90742540 109.610596 51.991646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90748444-0.90742540) × R
    5.90399999998992e-05 × 6371000     		dl = 376.143839999358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90748444-0.90742540) × R
    5.90399999998992e-05 × 6371000     		dr = 376.143839999358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91296992-1.91306579) × cos(0.90748444) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.615729849518147 × 6371000     		do = 376.080261709617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91296992-1.91306579) × cos(0.90742540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.615776369445696 × 6371000     		du = 376.108675512425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90748444)-sin(0.90742540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615729849518147-0.615776369445696)×R²
    abs(1.91306579-1.91296992)×4.65199275488937e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65199275488937e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65199275488937e-05×40589641000000     		ar = 141465.617667184m²