Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52720 / 21744
↖ ↑ ↗
← N 51.672555°
E109.599609°		 ← 378.82 m → N 51.672555°
E109.605103°		 →
↑
378.82 m
↓
↑
378.82 m
↓
N 51.669148°
E109.599609°		 ← 378.85 m →
143 511 m²		 N 51.669148°
E109.605103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804450988769531 y=0.331794738769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804450988769531 × 216)
    floor (0.804450988769531 × 65536)
    floor (52720.5)     		tx = 52720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331794738769531 × 216)
    floor (0.331794738769531 × 65536)
    floor (21744.5)     		ty = 21744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52720 / 21744 ti = "16/52720/21744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52720/21744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52720 ÷ 216
    52720 ÷ 65536     		x = 0.804443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21744 ÷ 216
    21744 ÷ 65536     		y = 0.331787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804443359375 × 2 - 1) × π
    0.60888671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.91287404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331787109375 × 2 - 1) × π
    0.33642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.056912762823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91287404} λ = 1.91287404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.056912762823))-π/2
    2×atan(2.87747381834829)-π/2
    2×1.23632627351702-π/2
    2.47265254703403-1.57079632675     		φ = 0.90185622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91287404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.599609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90185622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.672555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52720 KachelY 21744 1.91287404 0.90185622 109.599609 51.672555
    Oben rechts KachelX + 1 52721 KachelY 21744 1.91296992 0.90185622 109.605103 51.672555
    Unten links KachelX 52720 KachelY + 1 21745 1.91287404 0.90179676 109.599609 51.669148
    Unten rechts KachelX + 1 52721 KachelY + 1 21745 1.91296992 0.90179676 109.605103 51.669148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90185622-0.90179676) × R
    5.94600000000112e-05 × 6371000     		dl = 378.819660000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90185622-0.90179676) × R
    5.94600000000112e-05 × 6371000     		dr = 378.819660000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91287404-1.91296992) × cos(0.90185622) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.620154871134822 × 6371000     		do = 378.822520862544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91287404-1.91296992) × cos(0.90179676) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.6202015151839 × 6371000     		du = 378.851013448957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90185622)-sin(0.90179676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620154871134822-0.6202015151839)×R²
    abs(1.91296992-1.91287404)×4.66440490773934e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.66440490773934e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.66440490773934e-05×40589641000000     		ar = 143510.815371822m²