Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52720 / 11760
↖ ↑ ↗
← N 81.314959°
W 35.200196°		 ← 46.12 m → N 81.314959°
W 35.197449°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
N 81.314544°
W 35.200196°		 ← 46.12 m →
2 127 m²		 N 81.314544°
W 35.197449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402225494384766 y=0.0897254943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402225494384766 × 217)
    floor (0.402225494384766 × 131072)
    floor (52720.5)     		tx = 52720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0897254943847656 × 217)
    floor (0.0897254943847656 × 131072)
    floor (11760.5)     		ty = 11760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52720 / 11760 ti = "17/52720/11760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52720/11760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52720 ÷ 217
    52720 ÷ 131072     		x = 0.4022216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11760 ÷ 217
    11760 ÷ 131072     		y = 0.0897216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4022216796875 × 2 - 1) × π
    -0.195556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61435931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0897216796875 × 2 - 1) × π
    0.820556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.57785471396814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61435931} λ = -0.61435931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57785471396814))-π/2
    2×atan(13.1688568700781)-π/2
    2×1.49500504866338-π/2
    2.99001009732677-1.57079632675     		φ = 1.41921377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61435931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.200196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41921377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.314959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52720 KachelY 11760 -0.61435931 1.41921377 -35.200196 81.314959
    Oben rechts KachelX + 1 52721 KachelY 11760 -0.61431137 1.41921377 -35.197449 81.314959
    Unten links KachelX 52720 KachelY + 1 11761 -0.61435931 1.41920653 -35.200196 81.314544
    Unten rechts KachelX + 1 52721 KachelY + 1 11761 -0.61431137 1.41920653 -35.197449 81.314544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41921377-1.41920653) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dl = 46.1260399997703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41921377-1.41920653) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dr = 46.1260399997703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61435931--0.61431137) × cos(1.41921377) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151002731075603 × 6371000     		do = 46.1201208807568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61435931--0.61431137) × cos(1.41920653) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151009888053067 × 6371000     		du = 46.1223068058949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41921377)-sin(1.41920653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151002731075603-0.151009888053067)×R²
    abs(-0.61431137--0.61435931)×7.15697746386801e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.15697746386801e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.15697746386801e-06×40589641000000     		ar = 2127.38895451321m²