Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52720 / 102032
↖ ↑ ↗
← S 70.274289°
W 35.200196°		 ← 103.09 m → S 70.274289°
W 35.197449°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
S 70.275216°
W 35.200196°		 ← 103.08 m →
10 626 m²		 S 70.275216°
W 35.197449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402225494384766 y=0.778446197509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402225494384766 × 217)
    floor (0.402225494384766 × 131072)
    floor (52720.5)     		tx = 52720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778446197509766 × 217)
    floor (0.778446197509766 × 131072)
    floor (102032.5)     		ty = 102032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52720 / 102032 ti = "17/52720/102032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52720/102032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52720 ÷ 217
    52720 ÷ 131072     		x = 0.4022216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102032 ÷ 217
    102032 ÷ 131072     		y = 0.7784423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4022216796875 × 2 - 1) × π
    -0.195556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61435931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.556884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74950508853357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61435931} λ = -0.61435931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74950508853357))-π/2
    2×atan(0.173859967453002)-π/2
    2×0.172139296231379-π/2
    0.344278592462757-1.57079632675     		φ = -1.22651773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61435931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.200196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22651773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.274289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52720 KachelY 102032 -0.61435931 -1.22651773 -35.200196 -70.274289
    Oben rechts KachelX + 1 52721 KachelY 102032 -0.61431137 -1.22651773 -35.197449 -70.274289
    Unten links KachelX 52720 KachelY + 1 102033 -0.61435931 -1.22653391 -35.200196 -70.275216
    Unten rechts KachelX + 1 52721 KachelY + 1 102033 -0.61431137 -1.22653391 -35.197449 -70.275216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22651773--1.22653391) × R
    1.61799999998102e-05 × 6371000     		dl = 103.082779998791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22651773--1.22653391) × R
    1.61799999998102e-05 × 6371000     		dr = 103.082779998791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61435931--0.61431137) × cos(-1.22651773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337517694456332 × 6371000     		do = 103.086591592351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61435931--0.61431137) × cos(-1.22653391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337502463867758 × 6371000     		du = 103.081939778566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22651773)-sin(-1.22653391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337517694456332-0.337502463867758)×R²
    abs(-0.61431137--0.61435931)×1.52305885740001e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52305885740001e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52305885740001e-05×40589641000000     		ar = 10626.2126813394m²