Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52719 / 48671
↖ ↑ ↗
← S 65.437718°
E109.594116°		 ← 253.89 m → S 65.437718°
E109.599609°		 →
↑
253.88 m
↓
↑
253.88 m
↓
S 65.440002°
E109.594116°		 ← 253.87 m →
64 457 m²		 S 65.440002°
E109.599609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804435729980469 y=0.742668151855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804435729980469 × 216)
    floor (0.804435729980469 × 65536)
    floor (52719.5)     		tx = 52719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742668151855469 × 216)
    floor (0.742668151855469 × 65536)
    floor (48671.5)     		ty = 48671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52719 / 48671 ti = "16/52719/48671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52719/48671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52719 ÷ 216
    52719 ÷ 65536     		x = 0.804428100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48671 ÷ 216
    48671 ÷ 65536     		y = 0.742660522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804428100585938 × 2 - 1) × π
    0.608856201171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.91277817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742660522460938 × 2 - 1) × π
    -0.485321044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52468102931551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91277817} λ = 1.91277817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52468102931551))-π/2
    2×atan(0.217690482674512)-π/2
    2×0.214346343315163-π/2
    0.428692686630326-1.57079632675     		φ = -1.14210364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91277817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.594116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14210364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.437718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52719 KachelY 48671 1.91277817 -1.14210364 109.594116 -65.437718
    Oben rechts KachelX + 1 52720 KachelY 48671 1.91287404 -1.14210364 109.599609 -65.437718
    Unten links KachelX 52719 KachelY + 1 48672 1.91277817 -1.14214349 109.594116 -65.440002
    Unten rechts KachelX + 1 52720 KachelY + 1 48672 1.91287404 -1.14214349 109.599609 -65.440002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14210364--1.14214349) × R
    3.98500000000634e-05 × 6371000     		dl = 253.884350000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14210364--1.14214349) × R
    3.98500000000634e-05 × 6371000     		dr = 253.884350000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91277817-1.91287404) × cos(-1.14210364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415682143609971 × 6371000     		do = 253.893569524348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91277817-1.91287404) × cos(-1.14214349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415645899308277 × 6371000     		du = 253.871431948142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14210364)-sin(-1.14214349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415682143609971-0.415645899308277)×R²
    abs(1.91287404-1.91277817)×3.6244301693078e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6244301693078e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6244301693078e-05×40589641000000     		ar = 64456.7936845557m²