Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52710 / 102426
↖ ↑ ↗
← S 70.636305°
W 35.227661°		 ← 101.25 m → S 70.636305°
W 35.224915°		 →
↑
101.30 m
↓
↑
101.30 m
↓
S 70.637216°
W 35.227661°		 ← 101.24 m →
10 256 m²		 S 70.637216°
W 35.224915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402149200439453 y=0.781452178955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402149200439453 × 217)
    floor (0.402149200439453 × 131072)
    floor (52710.5)     		tx = 52710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781452178955078 × 217)
    floor (0.781452178955078 × 131072)
    floor (102426.5)     		ty = 102426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52710 / 102426 ti = "17/52710/102426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52710/102426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52710 ÷ 217
    52710 ÷ 131072     		x = 0.402145385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102426 ÷ 217
    102426 ÷ 131072     		y = 0.781448364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402145385742188 × 2 - 1) × π
    -0.195709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61483867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781448364257812 × 2 - 1) × π
    -0.562896728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76839222698387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61483867} λ = -0.61483867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76839222698387))-π/2
    2×atan(0.170607065876404)-π/2
    2×0.168980112363672-π/2
    0.337960224727344-1.57079632675     		φ = -1.23283610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61483867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.227661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23283610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.636305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52710 KachelY 102426 -0.61483867 -1.23283610 -35.227661 -70.636305
    Oben rechts KachelX + 1 52711 KachelY 102426 -0.61479074 -1.23283610 -35.224915 -70.636305
    Unten links KachelX 52710 KachelY + 1 102427 -0.61483867 -1.23285200 -35.227661 -70.637216
    Unten rechts KachelX + 1 52711 KachelY + 1 102427 -0.61479074 -1.23285200 -35.224915 -70.637216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23283610--1.23285200) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dl = 101.29889999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23283610--1.23285200) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dr = 101.29889999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61483867--0.61479074) × cos(-1.23283610) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331563394003166 × 6371000     		do = 101.246871066558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61483867--0.61479074) × cos(-1.23285200) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.33154839337748 × 6371000     		du = 101.242290445048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23283610)-sin(-1.23285200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331563394003166-0.33154839337748)×R²
    abs(-0.61479074--0.61483867)×1.50006256859347e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50006256859347e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50006256859347e-05×40589641000000     		ar = 10255.9646617435m²