Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52707 / 48703
↖ ↑ ↗
← S 65.510686°
E109.528198°		 ← 253.21 m → S 65.510686°
E109.533692°		 →
↑
253.18 m
↓
↑
253.18 m
↓
S 65.512963°
E109.528198°		 ← 253.19 m →
64 106 m²		 S 65.512963°
E109.533692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804252624511719 y=0.743156433105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804252624511719 × 216)
    floor (0.804252624511719 × 65536)
    floor (52707.5)     		tx = 52707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743156433105469 × 216)
    floor (0.743156433105469 × 65536)
    floor (48703.5)     		ty = 48703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52707 / 48703 ti = "16/52707/48703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52707/48703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52707 ÷ 216
    52707 ÷ 65536     		x = 0.804244995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48703 ÷ 216
    48703 ÷ 65536     		y = 0.743148803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804244995117188 × 2 - 1) × π
    0.608489990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91162768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743148803710938 × 2 - 1) × π
    -0.486297607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52774899089119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91162768} λ = 1.91162768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52774899089119))-π/2
    2×atan(0.217023640085044)-π/2
    2×0.213709583867064-π/2
    0.427419167734129-1.57079632675     		φ = -1.14337716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91162768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.528198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14337716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.510686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52707 KachelY 48703 1.91162768 -1.14337716 109.528198 -65.510686
    Oben rechts KachelX + 1 52708 KachelY 48703 1.91172356 -1.14337716 109.533692 -65.510686
    Unten links KachelX 52707 KachelY + 1 48704 1.91162768 -1.14341690 109.528198 -65.512963
    Unten rechts KachelX + 1 52708 KachelY + 1 48704 1.91172356 -1.14341690 109.533692 -65.512963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14337716--1.14341690) × R
    3.97400000000658e-05 × 6371000     		dl = 253.183540000419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14337716--1.14341690) × R
    3.97400000000658e-05 × 6371000     		dr = 253.183540000419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91162768-1.91172356) × cos(-1.14337716) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.414523527719445 × 6371000     		do = 253.212310402078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91162768-1.91172356) × cos(-1.14341690) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.414487362458354 × 6371000     		du = 253.190218798816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14337716)-sin(-1.14341690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414523527719445-0.414487362458354)×R²
    abs(1.91172356-1.91162768)×3.61652610902374e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.61652610902374e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.61652610902374e-05×40589641000000     		ar = 64106.3925125516m²