Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52704 / 21728
↖ ↑ ↗
← N 51.727028°
E109.511719°		 ← 378.37 m → N 51.727028°
E109.517212°		 →
↑
378.31 m
↓
↑
378.31 m
↓
N 51.723626°
E109.511719°		 ← 378.40 m →
143 145 m²		 N 51.723626°
E109.517212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804206848144531 y=0.331550598144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804206848144531 × 216)
    floor (0.804206848144531 × 65536)
    floor (52704.5)     		tx = 52704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331550598144531 × 216)
    floor (0.331550598144531 × 65536)
    floor (21728.5)     		ty = 21728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52704 / 21728 ti = "16/52704/21728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52704/21728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52704 ÷ 216
    52704 ÷ 65536     		x = 0.80419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21728 ÷ 216
    21728 ÷ 65536     		y = 0.33154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80419921875 × 2 - 1) × π
    0.6083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91134006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33154296875 × 2 - 1) × π
    0.3369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05844674361084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91134006} λ = 1.91134006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05844674361084))-π/2
    2×atan(2.8818911951225)-π/2
    2×1.23680164019423-π/2
    2.47360328038846-1.57079632675     		φ = 0.90280695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91134006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.511719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90280695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.727028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52704 KachelY 21728 1.91134006 0.90280695 109.511719 51.727028
    Oben rechts KachelX + 1 52705 KachelY 21728 1.91143594 0.90280695 109.517212 51.727028
    Unten links KachelX 52704 KachelY + 1 21729 1.91134006 0.90274757 109.511719 51.723626
    Unten rechts KachelX + 1 52705 KachelY + 1 21729 1.91143594 0.90274757 109.517212 51.723626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90280695-0.90274757) × R
    5.93799999999423e-05 × 6371000     		dl = 378.309979999632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90280695-0.90274757) × R
    5.93799999999423e-05 × 6371000     		dr = 378.309979999632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91134006-1.91143594) × cos(0.90280695) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.619408762868 × 6371000     		do = 378.366759523515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91134006-1.91143594) × cos(0.90274757) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.619455379152369 × 6371000     		du = 378.395235149814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90280695)-sin(0.90274757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619408762868-0.619455379152369)×R²
    abs(1.91143594-1.91134006)×4.66162843690832e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.66162843690832e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.66162843690832e-05×40589641000000     		ar = 143145.30757666m²