Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52697 / 102056
↖ ↑ ↗
← S 70.296526°
W 35.263366°		 ← 102.95 m → S 70.296526°
W 35.260620°		 →
↑
103.02 m
↓
↑
103.02 m
↓
S 70.297452°
W 35.263366°		 ← 102.95 m →
10 606 m²		 S 70.297452°
W 35.260620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402050018310547 y=0.778629302978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402050018310547 × 217)
    floor (0.402050018310547 × 131072)
    floor (52697.5)     		tx = 52697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778629302978516 × 217)
    floor (0.778629302978516 × 131072)
    floor (102056.5)     		ty = 102056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52697 / 102056 ti = "17/52697/102056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52697/102056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52697 ÷ 217
    52697 ÷ 131072     		x = 0.402046203613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102056 ÷ 217
    102056 ÷ 131072     		y = 0.77862548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402046203613281 × 2 - 1) × π
    -0.195907592773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.61546185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77862548828125 × 2 - 1) × π
    -0.5572509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75065557412445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61546185} λ = -0.61546185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75065557412445))-π/2
    2×atan(0.173660059083516)-π/2
    2×0.171945246710804-π/2
    0.343890493421607-1.57079632675     		φ = -1.22690583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61546185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.263366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22690583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.296526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52697 KachelY 102056 -0.61546185 -1.22690583 -35.263366 -70.296526
    Oben rechts KachelX + 1 52698 KachelY 102056 -0.61541392 -1.22690583 -35.260620 -70.296526
    Unten links KachelX 52697 KachelY + 1 102057 -0.61546185 -1.22692200 -35.263366 -70.297452
    Unten rechts KachelX + 1 52698 KachelY + 1 102057 -0.61541392 -1.22692200 -35.260620 -70.297452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22690583--1.22692200) × R
    1.61700000000931e-05 × 6371000     		dl = 103.019070000593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22690583--1.22692200) × R
    1.61700000000931e-05 × 6371000     		dr = 103.019070000593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61546185--0.61541392) × cos(-1.22690583) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337152343071512 × 6371000     		do = 102.953523899636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61546185--0.61541392) × cos(-1.22692200) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.33713711977926 × 6371000     		du = 102.948875284211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22690583)-sin(-1.22692200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337152343071512-0.33713711977926)×R²
    abs(-0.61541392--0.61546185)×1.5223292252009e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5223292252009e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5223292252009e-05×40589641000000     		ar = 10605.9368376313m²