Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 52695 / 48657
↖ ↑ ↗
← S 65.405731°
E109.462280°		 ← 254.20 m → S 65.405731°
E109.467773°		 →
↑
254.20 m
↓
↑
254.20 m
↓
S 65.408017°
E109.462280°		 ← 254.18 m →
64 616 m²		 S 65.408017°
E109.467773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804069519042969 y=0.742454528808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804069519042969 × 216)
    floor (0.804069519042969 × 65536)
    floor (52695.5)     		tx = 52695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742454528808594 × 216)
    floor (0.742454528808594 × 65536)
    floor (48657.5)     		ty = 48657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52695 / 48657 ti = "16/52695/48657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52695/48657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52695 ÷ 216
    52695 ÷ 65536     		x = 0.804061889648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48657 ÷ 216
    48657 ÷ 65536     		y = 0.742446899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804061889648438 × 2 - 1) × π
    0.608123779296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.91047720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742446899414062 × 2 - 1) × π
    -0.484893798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52333879612614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91047720} λ = 1.91047720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52333879612614))-π/2
    2×atan(0.217982870247621)-π/2
    2×0.214625484835015-π/2
    0.429250969670029-1.57079632675     		φ = -1.14154536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91047720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.462280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14154536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.405731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52695 KachelY 48657 1.91047720 -1.14154536 109.462280 -65.405731
    Oben rechts KachelX + 1 52696 KachelY 48657 1.91057307 -1.14154536 109.467773 -65.405731
    Unten links KachelX 52695 KachelY + 1 48658 1.91047720 -1.14158526 109.462280 -65.408017
    Unten rechts KachelX + 1 52696 KachelY + 1 48658 1.91057307 -1.14158526 109.467773 -65.408017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14154536--1.14158526) × R
    3.98999999999816e-05 × 6371000     		dl = 254.202899999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14154536--1.14158526) × R
    3.98999999999816e-05 × 6371000     		dr = 254.202899999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91047720-1.91057307) × cos(-1.14154536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416189840021236 × 6371000     		do = 254.203664283222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91047720-1.91057307) × cos(-1.14158526) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416153559507942 × 6371000     		du = 254.181504589413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14154536)-sin(-1.14158526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416189840021236-0.416153559507942)×R²
    abs(1.91057307-1.91047720)×3.62805132942956e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62805132942956e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62805132942956e-05×40589641000000     		ar = 64616.4921307783m²