Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52694 / 102046
↖ ↑ ↗
← S 70.287264°
W 35.271606°		 ← 103 m → S 70.287264°
W 35.268860°		 →
↑
103.02 m
↓
↑
103.02 m
↓
S 70.288191°
W 35.271606°		 ← 103 m →
10 611 m²		 S 70.288191°
W 35.268860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402027130126953 y=0.778553009033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402027130126953 × 217)
    floor (0.402027130126953 × 131072)
    floor (52694.5)     		tx = 52694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778553009033203 × 217)
    floor (0.778553009033203 × 131072)
    floor (102046.5)     		ty = 102046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52694 / 102046 ti = "17/52694/102046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52694/102046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52694 ÷ 217
    52694 ÷ 131072     		x = 0.402023315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102046 ÷ 217
    102046 ÷ 131072     		y = 0.778549194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402023315429688 × 2 - 1) × π
    -0.195953369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61560566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778549194335938 × 2 - 1) × π
    -0.557098388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75017620512825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61560566} λ = -0.61560566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75017620512825))-π/2
    2×atan(0.173743326287983)-π/2
    2×0.172026075137466-π/2
    0.344052150274932-1.57079632675     		φ = -1.22674418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61560566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.271606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22674418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.287264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52694 KachelY 102046 -0.61560566 -1.22674418 -35.271606 -70.287264
    Oben rechts KachelX + 1 52695 KachelY 102046 -0.61555773 -1.22674418 -35.268860 -70.287264
    Unten links KachelX 52694 KachelY + 1 102047 -0.61560566 -1.22676035 -35.271606 -70.288191
    Unten rechts KachelX + 1 52695 KachelY + 1 102047 -0.61555773 -1.22676035 -35.268860 -70.288191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22674418--1.22676035) × R
    1.6169999999871e-05 × 6371000     		dl = 103.019069999178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22674418--1.22676035) × R
    1.6169999999871e-05 × 6371000     		dr = 103.019069999178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61560566--0.61555773) × cos(-1.22674418) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337304524075079 × 6371000     		do = 102.999994199813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61560566--0.61555773) × cos(-1.22676035) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337289301664282 × 6371000     		du = 102.99534585355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22674418)-sin(-1.22676035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337304524075079-0.337289301664282)×R²
    abs(-0.61555773--0.61560566)×1.52224107968779e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52224107968779e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52224107968779e-05×40589641000000     		ar = 10610.724178532m²