Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52690 / 102386
↖ ↑ ↗
← S 70.599846°
W 35.282593°		 ← 101.43 m → S 70.599846°
W 35.279846°		 →
↑
101.43 m
↓
↑
101.43 m
↓
S 70.600758°
W 35.282593°		 ← 101.43 m →
10 287 m²		 S 70.600758°
W 35.279846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401996612548828 y=0.781147003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401996612548828 × 217)
    floor (0.401996612548828 × 131072)
    floor (52690.5)     		tx = 52690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781147003173828 × 217)
    floor (0.781147003173828 × 131072)
    floor (102386.5)     		ty = 102386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52690 / 102386 ti = "17/52690/102386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52690/102386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52690 ÷ 217
    52690 ÷ 131072     		x = 0.401992797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102386 ÷ 217
    102386 ÷ 131072     		y = 0.781143188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401992797851562 × 2 - 1) × π
    -0.196014404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61579741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781143188476562 × 2 - 1) × π
    -0.562286376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76647475099907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61579741} λ = -0.61579741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76647475099907))-π/2
    2×atan(0.170934514665326)-π/2
    2×0.169298282462758-π/2
    0.338596564925516-1.57079632675     		φ = -1.23219976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61579741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.282593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23219976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.599846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52690 KachelY 102386 -0.61579741 -1.23219976 -35.282593 -70.599846
    Oben rechts KachelX + 1 52691 KachelY 102386 -0.61574948 -1.23219976 -35.279846 -70.599846
    Unten links KachelX 52690 KachelY + 1 102387 -0.61579741 -1.23221568 -35.282593 -70.600758
    Unten rechts KachelX + 1 52691 KachelY + 1 102387 -0.61574948 -1.23221568 -35.279846 -70.600758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23219976--1.23221568) × R
    1.59199999998361e-05 × 6371000     		dl = 101.426319998956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23219976--1.23221568) × R
    1.59199999998361e-05 × 6371000     		dr = 101.426319998956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61579741--0.61574948) × cos(-1.23219976) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332163670951115 × 6371000     		do = 101.430172853947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61579741--0.61574948) × cos(-1.23221568) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332148654818544 × 6371000     		du = 101.425587497222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23219976)-sin(-1.23221568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332163670951115-0.332148654818544)×R²
    abs(-0.61574948--0.61579741)×1.50161325717102e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50161325717102e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50161325717102e-05×40589641000000     		ar = 10287.4566317663m²