Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52689 / 21679
↖ ↑ ↗
← N 51.893444°
E109.429321°		 ← 376.97 m → N 51.893444°
E109.434815°		 →
↑
376.97 m
↓
↑
376.97 m
↓
N 51.890054°
E109.429321°		 ← 377 m →
142 113 m²		 N 51.890054°
E109.434815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803977966308594 y=0.330802917480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803977966308594 × 216)
    floor (0.803977966308594 × 65536)
    floor (52689.5)     		tx = 52689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330802917480469 × 216)
    floor (0.330802917480469 × 65536)
    floor (21679.5)     		ty = 21679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52689 / 21679 ti = "16/52689/21679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52689/21679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52689 ÷ 216
    52689 ÷ 65536     		x = 0.803970336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21679 ÷ 216
    21679 ÷ 65536     		y = 0.330795288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.803970336914062 × 2 - 1) × π
    0.607940673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.90990195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330795288085938 × 2 - 1) × π
    0.338409423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06314455977361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90990195} λ = 1.90990195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06314455977361))-π/2
    2×atan(2.89546164093039)-π/2
    2×1.23825389271047-π/2
    2.47650778542093-1.57079632675     		φ = 0.90571146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90990195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.429321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90571146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.893444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52689 KachelY 21679 1.90990195 0.90571146 109.429321 51.893444
    Oben rechts KachelX + 1 52690 KachelY 21679 1.90999783 0.90571146 109.434815 51.893444
    Unten links KachelX 52689 KachelY + 1 21680 1.90990195 0.90565229 109.429321 51.890054
    Unten rechts KachelX + 1 52690 KachelY + 1 21680 1.90999783 0.90565229 109.434815 51.890054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90571146-0.90565229) × R
    5.91699999999973e-05 × 6371000     		dl = 376.972069999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90571146-0.90565229) × R
    5.91699999999973e-05 × 6371000     		dr = 376.972069999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90990195-1.90999783) × cos(0.90571146) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.617125913611266 × 6371000     		do = 376.972277675547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90990195-1.90999783) × cos(0.90565229) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.617172471298336 × 6371000     		du = 377.000717507599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90571146)-sin(0.90565229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617125913611266-0.617172471298336)×R²
    abs(1.90999783-1.90990195)×4.65576870702922e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.65576870702922e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.65576870702922e-05×40589641000000     		ar = 142113.380400577m²