Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52685 / 48675
↖ ↑ ↗
← S 65.446850°
E109.407349°		 ← 253.81 m → S 65.446850°
E109.412842°		 →
↑
253.82 m
↓
↑
253.82 m
↓
S 65.449133°
E109.407349°		 ← 253.78 m →
64 418 m²		 S 65.449133°
E109.412842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803916931152344 y=0.742729187011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803916931152344 × 216)
    floor (0.803916931152344 × 65536)
    floor (52685.5)     		tx = 52685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742729187011719 × 216)
    floor (0.742729187011719 × 65536)
    floor (48675.5)     		ty = 48675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52685 / 48675 ti = "16/52685/48675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52685/48675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52685 ÷ 216
    52685 ÷ 65536     		x = 0.803909301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48675 ÷ 216
    48675 ÷ 65536     		y = 0.742721557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.803909301757812 × 2 - 1) × π
    0.607818603515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.90951846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742721557617188 × 2 - 1) × π
    -0.485443115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52506452451247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90951846} λ = 1.90951846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52506452451247))-π/2
    2×atan(0.21760701542565)-π/2
    2×0.214266651161589-π/2
    0.428533302323179-1.57079632675     		φ = -1.14226302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90951846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.407349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14226302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.446850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52685 KachelY 48675 1.90951846 -1.14226302 109.407349 -65.446850
    Oben rechts KachelX + 1 52686 KachelY 48675 1.90961433 -1.14226302 109.412842 -65.446850
    Unten links KachelX 52685 KachelY + 1 48676 1.90951846 -1.14230286 109.407349 -65.449133
    Unten rechts KachelX + 1 52686 KachelY + 1 48676 1.90961433 -1.14230286 109.412842 -65.449133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14226302--1.14230286) × R
    3.98400000001242e-05 × 6371000     		dl = 253.820640000791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14226302--1.14230286) × R
    3.98400000001242e-05 × 6371000     		dr = 253.820640000791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90951846-1.90961433) × cos(-1.14226302) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415537180634623 × 6371000     		do = 253.805027911903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90951846-1.90961433) × cos(-1.14230286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415500942789313 × 6371000     		du = 253.782894279177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14226302)-sin(-1.14230286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415537180634623-0.415500942789313)×R²
    abs(1.90961433-1.90951846)×3.62378453092616e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62378453092616e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62378453092616e-05×40589641000000     		ar = 64418.145642464m²