Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52671 / 13246
↖ ↑ ↗
← N 80.676449°
W 35.334778°		 ← 49.47 m → N 80.676449°
W 35.332031°		 →
↑
49.50 m
↓
↑
49.50 m
↓
N 80.676004°
W 35.334778°		 ← 49.47 m →
2 449 m²		 N 80.676004°
W 35.332031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401851654052734 y=0.101062774658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401851654052734 × 217)
    floor (0.401851654052734 × 131072)
    floor (52671.5)     		tx = 52671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101062774658203 × 217)
    floor (0.101062774658203 × 131072)
    floor (13246.5)     		ty = 13246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52671 / 13246 ti = "17/52671/13246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52671/13246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52671 ÷ 217
    52671 ÷ 131072     		x = 0.401847839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13246 ÷ 217
    13246 ÷ 131072     		y = 0.101058959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401847839355469 × 2 - 1) × π
    -0.196304321289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.61670821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101058959960938 × 2 - 1) × π
    0.797882080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50662048113274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61670821} λ = -0.61670821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50662048113274))-π/2
    2×atan(12.2634155063321)-π/2
    2×1.48943299363515-π/2
    2.9788659872703-1.57079632675     		φ = 1.40806966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61670821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.334778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40806966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.676449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52671 KachelY 13246 -0.61670821 1.40806966 -35.334778 80.676449
    Oben rechts KachelX + 1 52672 KachelY 13246 -0.61666028 1.40806966 -35.332031 80.676449
    Unten links KachelX 52671 KachelY + 1 13247 -0.61670821 1.40806189 -35.334778 80.676004
    Unten rechts KachelX + 1 52672 KachelY + 1 13247 -0.61666028 1.40806189 -35.332031 80.676004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40806966-1.40806189) × R
    7.77000000007355e-06 × 6371000     		dl = 49.5026700004686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40806966-1.40806189) × R
    7.77000000007355e-06 × 6371000     		dr = 49.5026700004686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61670821--0.61666028) × cos(1.40806966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.162009450889225 × 6371000     		do = 49.4715348027494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61670821--0.61666028) × cos(1.40806189) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.162017118236468 × 6371000     		du = 49.4738761194683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40806966)-sin(1.40806189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162009450889225-0.162017118236468)×R²
    abs(-0.61666028--0.61670821)×7.66734724305662e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.66734724305662e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.66734724305662e-06×40589641000000     		ar = 2449.03101255491m²