Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52670 / 48714
↖ ↑ ↗
← S 65.535721°
E109.324951°		 ← 252.97 m → S 65.535721°
E109.330445°		 →
↑
252.93 m
↓
↑
252.93 m
↓
S 65.537996°
E109.324951°		 ← 252.95 m →
63 980 m²		 S 65.537996°
E109.330445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803688049316406 y=0.743324279785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803688049316406 × 216)
    floor (0.803688049316406 × 65536)
    floor (52670.5)     		tx = 52670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743324279785156 × 216)
    floor (0.743324279785156 × 65536)
    floor (48714.5)     		ty = 48714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52670 / 48714 ti = "16/52670/48714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52670/48714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52670 ÷ 216
    52670 ÷ 65536     		x = 0.803680419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48714 ÷ 216
    48714 ÷ 65536     		y = 0.743316650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.803680419921875 × 2 - 1) × π
    0.60736083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.90808035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743316650390625 × 2 - 1) × π
    -0.48663330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52880360268283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90808035} λ = 1.90808035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52880360268283))-π/2
    2×atan(0.216794885040231)-π/2
    2×0.213491108029937-π/2
    0.426982216059875-1.57079632675     		φ = -1.14381411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90808035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.324951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14381411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.535721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52670 KachelY 48714 1.90808035 -1.14381411 109.324951 -65.535721
    Oben rechts KachelX + 1 52671 KachelY 48714 1.90817623 -1.14381411 109.330445 -65.535721
    Unten links KachelX 52670 KachelY + 1 48715 1.90808035 -1.14385381 109.324951 -65.537996
    Unten rechts KachelX + 1 52671 KachelY + 1 48715 1.90817623 -1.14385381 109.330445 -65.537996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14381411--1.14385381) × R
    3.96999999998648e-05 × 6371000     		dl = 252.928699999139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14381411--1.14385381) × R
    3.96999999998648e-05 × 6371000     		dr = 252.928699999139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90808035-1.90817623) × cos(-1.14381411) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.41412584679636 × 6371000     		do = 252.969386421644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90808035-1.90817623) × cos(-1.14385381) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.41408971075053 × 6371000     		du = 252.947312664567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14381411)-sin(-1.14385381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41412584679636-0.41408971075053)×R²
    abs(1.90817623-1.90808035)×3.61360458295268e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.61360458295268e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.61360458295268e-05×40589641000000     		ar = 63980.4265122409m²