Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52666 / 102506
↖ ↑ ↗
← S 70.709027°
W 35.348511°		 ← 100.90 m → S 70.709027°
W 35.345764°		 →
↑
100.92 m
↓
↑
100.92 m
↓
S 70.709934°
W 35.348511°		 ← 100.90 m →
10 182 m²		 S 70.709934°
W 35.345764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401813507080078 y=0.782062530517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401813507080078 × 217)
    floor (0.401813507080078 × 131072)
    floor (52666.5)     		tx = 52666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782062530517578 × 217)
    floor (0.782062530517578 × 131072)
    floor (102506.5)     		ty = 102506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52666 / 102506 ti = "17/52666/102506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52666/102506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52666 ÷ 217
    52666 ÷ 131072     		x = 0.401809692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102506 ÷ 217
    102506 ÷ 131072     		y = 0.782058715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401809692382812 × 2 - 1) × π
    -0.196380615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61694790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782058715820312 × 2 - 1) × π
    -0.564117431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77222717895348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61694790} λ = -0.61694790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77222717895348))-π/2
    2×atan(0.169954048917747)-π/2
    2×0.168345496411698-π/2
    0.336690992823395-1.57079632675     		φ = -1.23410533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61694790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.348511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23410533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.709027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52666 KachelY 102506 -0.61694790 -1.23410533 -35.348511 -70.709027
    Oben rechts KachelX + 1 52667 KachelY 102506 -0.61689996 -1.23410533 -35.345764 -70.709027
    Unten links KachelX 52666 KachelY + 1 102507 -0.61694790 -1.23412117 -35.348511 -70.709934
    Unten rechts KachelX + 1 52667 KachelY + 1 102507 -0.61689996 -1.23412117 -35.345764 -70.709934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23410533--1.23412117) × R
    1.58400000001002e-05 × 6371000     		dl = 100.916640000638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23410533--1.23412117) × R
    1.58400000001002e-05 × 6371000     		dr = 100.916640000638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61694790--0.61689996) × cos(-1.23410533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330365693866763 × 6371000     		do = 100.902186519803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61694790--0.61689996) × cos(-1.23412117) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330350743193607 × 6371000     		du = 100.897620199391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23410533)-sin(-1.23412117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330365693866763-0.330350743193607)×R²
    abs(-0.61689996--0.61694790)×1.49506731553228e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49506731553228e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49506731553228e-05×40589641000000     		ar = 10182.4792236078m²