Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52664 / 102360
↖ ↑ ↗
← S 70.576112°
W 35.354004°		 ← 101.55 m → S 70.576112°
W 35.351258°		 →
↑
101.55 m
↓
↑
101.55 m
↓
S 70.577025°
W 35.354004°		 ← 101.54 m →
10 312 m²		 S 70.577025°
W 35.351258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401798248291016 y=0.780948638916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401798248291016 × 217)
    floor (0.401798248291016 × 131072)
    floor (52664.5)     		tx = 52664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780948638916016 × 217)
    floor (0.780948638916016 × 131072)
    floor (102360.5)     		ty = 102360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52664 / 102360 ti = "17/52664/102360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52664/102360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52664 ÷ 217
    52664 ÷ 131072     		x = 0.40179443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102360 ÷ 217
    102360 ÷ 131072     		y = 0.78094482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40179443359375 × 2 - 1) × π
    -0.1964111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61704377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78094482421875 × 2 - 1) × π
    -0.5618896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76522839160895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61704377} λ = -0.61704377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76522839160895))-π/2
    2×atan(0.17114769332379)-π/2
    2×0.169505401831132-π/2
    0.339010803662264-1.57079632675     		φ = -1.23178552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61704377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.354004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23178552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.576112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52664 KachelY 102360 -0.61704377 -1.23178552 -35.354004 -70.576112
    Oben rechts KachelX + 1 52665 KachelY 102360 -0.61699584 -1.23178552 -35.351258 -70.576112
    Unten links KachelX 52664 KachelY + 1 102361 -0.61704377 -1.23180146 -35.354004 -70.577025
    Unten rechts KachelX + 1 52665 KachelY + 1 102361 -0.61699584 -1.23180146 -35.351258 -70.577025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23178552--1.23180146) × R
    1.59399999999366e-05 × 6371000     		dl = 101.553739999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23178552--1.23180146) × R
    1.59399999999366e-05 × 6371000     		dr = 101.553739999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61704377--0.61699584) × cos(-1.23178552) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332554362624601 × 6371000     		do = 101.549475256466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61704377--0.61699584) × cos(-1.23180146) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332539329822 × 6371000     		du = 101.544884809348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23178552)-sin(-1.23180146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332554362624601-0.332539329822)×R²
    abs(-0.61699584--0.61704377)×1.50328026006785e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50328026006785e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50328026006785e-05×40589641000000     		ar = 10312.4959189731m²