Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52662 / 102473
↖ ↑ ↗
← S 70.679061°
W 35.359497°		 ← 101.05 m → S 70.679061°
W 35.356751°		 →
↑
101.04 m
↓
↑
101.04 m
↓
S 70.679970°
W 35.359497°		 ← 101.05 m →
10 211 m²		 S 70.679970°
W 35.356751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401782989501953 y=0.781810760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401782989501953 × 217)
    floor (0.401782989501953 × 131072)
    floor (52662.5)     		tx = 52662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781810760498047 × 217)
    floor (0.781810760498047 × 131072)
    floor (102473.5)     		ty = 102473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52662 / 102473 ti = "17/52662/102473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52662/102473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52662 ÷ 217
    52662 ÷ 131072     		x = 0.401779174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102473 ÷ 217
    102473 ÷ 131072     		y = 0.781806945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401779174804688 × 2 - 1) × π
    -0.196441650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61713965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781806945800781 × 2 - 1) × π
    -0.563613891601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.77064526126601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61713965} λ = -0.61713965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77064526126601))-π/2
    2×atan(0.170223114997871)-π/2
    2×0.168606997238624-π/2
    0.337213994477248-1.57079632675     		φ = -1.23358233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61713965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.359497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23358233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.679061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52662 KachelY 102473 -0.61713965 -1.23358233 -35.359497 -70.679061
    Oben rechts KachelX + 1 52663 KachelY 102473 -0.61709171 -1.23358233 -35.356751 -70.679061
    Unten links KachelX 52662 KachelY + 1 102474 -0.61713965 -1.23359819 -35.359497 -70.679970
    Unten rechts KachelX + 1 52663 KachelY + 1 102474 -0.61709171 -1.23359819 -35.356751 -70.679970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23358233--1.23359819) × R
    1.58599999999787e-05 × 6371000     		dl = 101.044059999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23358233--1.23359819) × R
    1.58599999999787e-05 × 6371000     		dr = 101.044059999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61713965--0.61709171) × cos(-1.23358233) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.330859283787252 × 6371000     		do = 101.052941586759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61713965--0.61709171) × cos(-1.23359819) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.330844316979228 × 6371000     		du = 101.048370338343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23358233)-sin(-1.23359819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330859283787252-0.330844316979228)×R²
    abs(-0.61709171--0.61713965)×1.49668080243193e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.49668080243193e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.49668080243193e-05×40589641000000     		ar = 10210.5685443595m²