Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52661 / 102379
↖ ↑ ↗
← S 70.593458°
W 35.362244°		 ← 101.46 m → S 70.593458°
W 35.359497°		 →
↑
101.49 m
↓
↑
101.49 m
↓
S 70.594371°
W 35.362244°		 ← 101.46 m →
10 297 m²		 S 70.594371°
W 35.359497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401775360107422 y=0.781093597412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401775360107422 × 217)
    floor (0.401775360107422 × 131072)
    floor (52661.5)     		tx = 52661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781093597412109 × 217)
    floor (0.781093597412109 × 131072)
    floor (102379.5)     		ty = 102379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52661 / 102379 ti = "17/52661/102379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52661/102379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52661 ÷ 217
    52661 ÷ 131072     		x = 0.401771545410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102379 ÷ 217
    102379 ÷ 131072     		y = 0.781089782714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401771545410156 × 2 - 1) × π
    -0.196456909179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.61718758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781089782714844 × 2 - 1) × π
    -0.562179565429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.76613919270173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61718758} λ = -0.61718758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76613919270173))-π/2
    2×atan(0.170991882784659)-π/2
    2×0.169354021420667-π/2
    0.338708042841334-1.57079632675     		φ = -1.23208828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61718758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.362244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23208828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.593458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52661 KachelY 102379 -0.61718758 -1.23208828 -35.362244 -70.593458
    Oben rechts KachelX + 1 52662 KachelY 102379 -0.61713965 -1.23208828 -35.359497 -70.593458
    Unten links KachelX 52661 KachelY + 1 102380 -0.61718758 -1.23210421 -35.362244 -70.594371
    Unten rechts KachelX + 1 52662 KachelY + 1 102380 -0.61713965 -1.23210421 -35.359497 -70.594371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23208828--1.23210421) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dl = 101.490029999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23208828--1.23210421) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dr = 101.490029999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61718758--0.61713965) × cos(-1.23208828) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.332268819249096 × 6371000     		do = 101.462281151434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61718758--0.61713965) × cos(-1.23210421) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.332253794274215 × 6371000     		du = 101.457693094604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23208828)-sin(-1.23210421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332268819249096-0.332253794274215)×R²
    abs(-0.61713965--0.61718758)×1.50249748807618e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.50249748807618e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.50249748807618e-05×40589641000000     		ar = 10297.1771372041m²