Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52658 / 102415
↖ ↑ ↗
← S 70.626285°
W 35.370483°		 ← 101.30 m → S 70.626285°
W 35.367737°		 →
↑
101.30 m
↓
↑
101.30 m
↓
S 70.627196°
W 35.370483°		 ← 101.29 m →
10 261 m²		 S 70.627196°
W 35.367737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401752471923828 y=0.781368255615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401752471923828 × 217)
    floor (0.401752471923828 × 131072)
    floor (52658.5)     		tx = 52658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781368255615234 × 217)
    floor (0.781368255615234 × 131072)
    floor (102415.5)     		ty = 102415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52658 / 102415 ti = "17/52658/102415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52658/102415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52658 ÷ 217
    52658 ÷ 131072     		x = 0.401748657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102415 ÷ 217
    102415 ÷ 131072     		y = 0.781364440917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401748657226562 × 2 - 1) × π
    -0.196502685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61733139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781364440917969 × 2 - 1) × π
    -0.562728881835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.76786492108805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61733139} λ = -0.61733139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76786492108805))-π/2
    2×atan(0.170697051711054)-π/2
    2×0.169067551776739-π/2
    0.338135103553477-1.57079632675     		φ = -1.23266122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61733139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.370483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23266122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.626285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52658 KachelY 102415 -0.61733139 -1.23266122 -35.370483 -70.626285
    Oben rechts KachelX + 1 52659 KachelY 102415 -0.61728346 -1.23266122 -35.367737 -70.626285
    Unten links KachelX 52658 KachelY + 1 102416 -0.61733139 -1.23267712 -35.370483 -70.627196
    Unten rechts KachelX + 1 52659 KachelY + 1 102416 -0.61728346 -1.23267712 -35.367737 -70.627196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23266122--1.23267712) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dl = 101.29889999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23266122--1.23267712) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dr = 101.29889999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61733139--0.61728346) × cos(-1.23266122) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.33172837648509 × 6371000     		do = 101.297250452153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61733139--0.61728346) × cos(-1.23267712) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331713376781556 × 6371000     		du = 101.292670112233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23266122)-sin(-1.23267712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33172837648509-0.331713376781556)×R²
    abs(-0.61728346--0.61733139)×1.4999703534857e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.4999703534857e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.4999703534857e-05×40589641000000     		ar = 10261.0680522552m²