Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52657 / 102416
↖ ↑ ↗
← S 70.627196°
W 35.373230°		 ← 101.31 m → S 70.627196°
W 35.370483°		 →
↑
101.36 m
↓
↑
101.36 m
↓
S 70.628108°
W 35.373230°		 ← 101.31 m →
10 269 m²		 S 70.628108°
W 35.370483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401744842529297 y=0.781375885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401744842529297 × 217)
    floor (0.401744842529297 × 131072)
    floor (52657.5)     		tx = 52657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781375885009766 × 217)
    floor (0.781375885009766 × 131072)
    floor (102416.5)     		ty = 102416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52657 / 102416 ti = "17/52657/102416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52657/102416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52657 ÷ 217
    52657 ÷ 131072     		x = 0.401741027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102416 ÷ 217
    102416 ÷ 131072     		y = 0.7813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401741027832031 × 2 - 1) × π
    -0.196517944335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.61737933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.562744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76791285798767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61737933} λ = -0.61737933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76791285798767))-π/2
    2×atan(0.170688869219744)-π/2
    2×0.169059600941649-π/2
    0.338119201883299-1.57079632675     		φ = -1.23267712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61737933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.373230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23267712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.627196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52657 KachelY 102416 -0.61737933 -1.23267712 -35.373230 -70.627196
    Oben rechts KachelX + 1 52658 KachelY 102416 -0.61733139 -1.23267712 -35.370483 -70.627196
    Unten links KachelX 52657 KachelY + 1 102417 -0.61737933 -1.23269303 -35.373230 -70.628108
    Unten rechts KachelX + 1 52658 KachelY + 1 102417 -0.61733139 -1.23269303 -35.370483 -70.628108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23267712--1.23269303) × R
    1.59100000001189e-05 × 6371000     		dl = 101.362610000757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23267712--1.23269303) × R
    1.59100000001189e-05 × 6371000     		dr = 101.362610000757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61737933--0.61733139) × cos(-1.23267712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331713376781556 × 6371000     		do = 101.313803571339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61737933--0.61733139) × cos(-1.23269303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331698367560305 × 6371000     		du = 101.309219368832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23267712)-sin(-1.23269303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331713376781556-0.331698367560305)×R²
    abs(-0.61733139--0.61737933)×1.50092212504171e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50092212504171e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50092212504171e-05×40589641000000     		ar = 10269.1992260493m²