Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52655 / 102418
↖ ↑ ↗
← S 70.629019°
W 35.378723°		 ← 101.28 m → S 70.629019°
W 35.375977°		 →
↑
101.30 m
↓
↑
101.30 m
↓
S 70.629930°
W 35.378723°		 ← 101.28 m →
10 260 m²		 S 70.629930°
W 35.375977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401729583740234 y=0.781391143798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401729583740234 × 217)
    floor (0.401729583740234 × 131072)
    floor (52655.5)     		tx = 52655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781391143798828 × 217)
    floor (0.781391143798828 × 131072)
    floor (102418.5)     		ty = 102418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52655 / 102418 ti = "17/52655/102418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52655/102418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52655 ÷ 217
    52655 ÷ 131072     		x = 0.401725769042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102418 ÷ 217
    102418 ÷ 131072     		y = 0.781387329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401725769042969 × 2 - 1) × π
    -0.196548461914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.61747520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781387329101562 × 2 - 1) × π
    -0.562774658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76800873178691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61747520} λ = -0.61747520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76800873178691))-π/2
    2×atan(0.170672505413807)-π/2
    2×0.169043700350108-π/2
    0.338087400700215-1.57079632675     		φ = -1.23270893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61747520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.378723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23270893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.629019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52655 KachelY 102418 -0.61747520 -1.23270893 -35.378723 -70.629019
    Oben rechts KachelX + 1 52656 KachelY 102418 -0.61742727 -1.23270893 -35.375977 -70.629019
    Unten links KachelX 52655 KachelY + 1 102419 -0.61747520 -1.23272483 -35.378723 -70.629930
    Unten rechts KachelX + 1 52656 KachelY + 1 102419 -0.61742727 -1.23272483 -35.375977 -70.629930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23270893--1.23272483) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dl = 101.29889999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23270893--1.23272483) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dr = 101.29889999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61747520--0.61742727) × cos(-1.23270893) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331683367689 × 6371000     		do = 101.283506474812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61747520--0.61742727) × cos(-1.23272483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331668367733843 × 6371000     		du = 101.278926058055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23270893)-sin(-1.23272483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331683367689-0.331668367733843)×R²
    abs(-0.61742727--0.61747520)×1.49999551576352e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49999551576352e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49999551576352e-05×40589641000000     		ar = 10259.6757985365m²