Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52655 / 102065
↖ ↑ ↗
← S 70.304858°
W 35.378723°		 ← 102.91 m → S 70.304858°
W 35.375977°		 →
↑
102.96 m
↓
↑
102.96 m
↓
S 70.305784°
W 35.378723°		 ← 102.91 m →
10 595 m²		 S 70.305784°
W 35.375977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401729583740234 y=0.778697967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401729583740234 × 217)
    floor (0.401729583740234 × 131072)
    floor (52655.5)     		tx = 52655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778697967529297 × 217)
    floor (0.778697967529297 × 131072)
    floor (102065.5)     		ty = 102065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52655 / 102065 ti = "17/52655/102065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52655/102065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52655 ÷ 217
    52655 ÷ 131072     		x = 0.401725769042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102065 ÷ 217
    102065 ÷ 131072     		y = 0.778694152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401725769042969 × 2 - 1) × π
    -0.196548461914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.61747520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778694152832031 × 2 - 1) × π
    -0.557388305664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.75108700622103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61747520} λ = -0.61747520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75108700622103))-π/2
    2×atan(0.1735851527198)-π/2
    2×0.171872532308895-π/2
    0.34374506461779-1.57079632675     		φ = -1.22705126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61747520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.378723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22705126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.304858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52655 KachelY 102065 -0.61747520 -1.22705126 -35.378723 -70.304858
    Oben rechts KachelX + 1 52656 KachelY 102065 -0.61742727 -1.22705126 -35.375977 -70.304858
    Unten links KachelX 52655 KachelY + 1 102066 -0.61747520 -1.22706742 -35.378723 -70.305784
    Unten rechts KachelX + 1 52656 KachelY + 1 102066 -0.61742727 -1.22706742 -35.375977 -70.305784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22705126--1.22706742) × R
    1.61599999999318e-05 × 6371000     		dl = 102.955359999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22705126--1.22706742) × R
    1.61599999999318e-05 × 6371000     		dr = 102.955359999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61747520--0.61742727) × cos(-1.22705126) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337015424418062 × 6371000     		do = 102.911714141674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61747520--0.61742727) × cos(-1.22706742) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337000209748186 × 6371000     		du = 102.907068159195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22705126)-sin(-1.22706742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337015424418062-0.337000209748186)×R²
    abs(-0.61742727--0.61747520)×1.52146698757516e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52146698757516e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52146698757516e-05×40589641000000     		ar = 10595.073413406m²