Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52654 / 48724
↖ ↑ ↗
← S 65.558460°
E109.237060°		 ← 252.75 m → S 65.558460°
E109.242554°		 →
↑
252.67 m
↓
↑
252.67 m
↓
S 65.560732°
E109.237060°		 ← 252.73 m →
63 860 m²		 S 65.560732°
E109.242554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803443908691406 y=0.743476867675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803443908691406 × 216)
    floor (0.803443908691406 × 65536)
    floor (52654.5)     		tx = 52654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743476867675781 × 216)
    floor (0.743476867675781 × 65536)
    floor (48724.5)     		ty = 48724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52654 / 48724 ti = "16/52654/48724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52654/48724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52654 ÷ 216
    52654 ÷ 65536     		x = 0.803436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48724 ÷ 216
    48724 ÷ 65536     		y = 0.74346923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.803436279296875 × 2 - 1) × π
    0.60687255859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.90654637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74346923828125 × 2 - 1) × π
    -0.4869384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52976234067523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90654637} λ = 1.90654637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52976234067523))-π/2
    2×atan(0.216587135152153)-π/2
    2×0.213292675538845-π/2
    0.426585351077691-1.57079632675     		φ = -1.14421098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90654637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.237060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14421098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.558460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52654 KachelY 48724 1.90654637 -1.14421098 109.237060 -65.558460
    Oben rechts KachelX + 1 52655 KachelY 48724 1.90664225 -1.14421098 109.242554 -65.558460
    Unten links KachelX 52654 KachelY + 1 48725 1.90654637 -1.14425064 109.237060 -65.560732
    Unten rechts KachelX + 1 52655 KachelY + 1 48725 1.90664225 -1.14425064 109.242554 -65.560732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14421098--1.14425064) × R
    3.96600000001079e-05 × 6371000     		dl = 252.673860000688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14421098--1.14425064) × R
    3.96600000001079e-05 × 6371000     		dr = 252.673860000688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90654637-1.90664225) × cos(-1.14421098) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.413764575325891 × 6371000     		do = 252.748703209227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90654637-1.90664225) × cos(-1.14425064) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.413728469174347 × 6371000     		du = 252.726647713118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14421098)-sin(-1.14425064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413764575325891-0.413728469174347)×R²
    abs(1.90664225-1.90654637)×3.61061515444794e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.61061515444794e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.61061515444794e-05×40589641000000     		ar = 63860.2040345041m²