Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52654 / 102070
↖ ↑ ↗
← S 70.309486°
W 35.381470°		 ← 102.91 m → S 70.309486°
W 35.378723°		 →
↑
102.89 m
↓
↑
102.89 m
↓
S 70.310412°
W 35.381470°		 ← 102.91 m →
10 588 m²		 S 70.310412°
W 35.378723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401721954345703 y=0.778736114501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401721954345703 × 217)
    floor (0.401721954345703 × 131072)
    floor (52654.5)     		tx = 52654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778736114501953 × 217)
    floor (0.778736114501953 × 131072)
    floor (102070.5)     		ty = 102070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52654 / 102070 ti = "17/52654/102070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52654/102070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52654 ÷ 217
    52654 ÷ 131072     		x = 0.401718139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102070 ÷ 217
    102070 ÷ 131072     		y = 0.778732299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401718139648438 × 2 - 1) × π
    -0.196563720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61752314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778732299804688 × 2 - 1) × π
    -0.557464599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75132669071913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61752314} λ = -0.61752314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75132669071913))-π/2
    2×atan(0.173543552035311)-π/2
    2×0.171832148179526-π/2
    0.343664296359052-1.57079632675     		φ = -1.22713203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61752314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.381470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22713203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.309486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52654 KachelY 102070 -0.61752314 -1.22713203 -35.381470 -70.309486
    Oben rechts KachelX + 1 52655 KachelY 102070 -0.61747520 -1.22713203 -35.378723 -70.309486
    Unten links KachelX 52654 KachelY + 1 102071 -0.61752314 -1.22714818 -35.381470 -70.310412
    Unten rechts KachelX + 1 52655 KachelY + 1 102071 -0.61747520 -1.22714818 -35.378723 -70.310412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22713203--1.22714818) × R
    1.61499999999926e-05 × 6371000     		dl = 102.891649999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22713203--1.22714818) × R
    1.61499999999926e-05 × 6371000     		dr = 102.891649999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61752314--0.61747520) × cos(-1.22713203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336939378434452 × 6371000     		do = 102.909958993415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61752314--0.61747520) × cos(-1.22714818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336924172740067 × 6371000     		du = 102.905314782955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22713203)-sin(-1.22714818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336939378434452-0.336924172740067)×R²
    abs(-0.61747520--0.61752314)×1.52056943854562e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52056943854562e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52056943854562e-05×40589641000000     		ar = 10588.3365572023m²