Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52653 / 102470
↖ ↑ ↗
← S 70.676335°
W 35.384216°		 ← 101.07 m → S 70.676335°
W 35.381470°		 →
↑
101.04 m
↓
↑
101.04 m
↓
S 70.677244°
W 35.384216°		 ← 101.06 m →
10 212 m²		 S 70.677244°
W 35.381470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401714324951172 y=0.781787872314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401714324951172 × 217)
    floor (0.401714324951172 × 131072)
    floor (52653.5)     		tx = 52653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781787872314453 × 217)
    floor (0.781787872314453 × 131072)
    floor (102470.5)     		ty = 102470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52653 / 102470 ti = "17/52653/102470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52653/102470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52653 ÷ 217
    52653 ÷ 131072     		x = 0.401710510253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102470 ÷ 217
    102470 ÷ 131072     		y = 0.781784057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401710510253906 × 2 - 1) × π
    -0.196578979492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.61757108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781784057617188 × 2 - 1) × π
    -0.563568115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77050145056715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61757108} λ = -0.61757108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77050145056715))-π/2
    2×atan(0.170247596663321)-π/2
    2×0.168630789405267-π/2
    0.337261578810534-1.57079632675     		φ = -1.23353475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61757108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.384216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23353475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.676335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52653 KachelY 102470 -0.61757108 -1.23353475 -35.384216 -70.676335
    Oben rechts KachelX + 1 52654 KachelY 102470 -0.61752314 -1.23353475 -35.381470 -70.676335
    Unten links KachelX 52653 KachelY + 1 102471 -0.61757108 -1.23355061 -35.384216 -70.677244
    Unten rechts KachelX + 1 52654 KachelY + 1 102471 -0.61752314 -1.23355061 -35.381470 -70.677244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23353475--1.23355061) × R
    1.58599999999787e-05 × 6371000     		dl = 101.044059999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23353475--1.23355061) × R
    1.58599999999787e-05 × 6371000     		dr = 101.044059999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61757108--0.61752314) × cos(-1.23353475) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.330904183711965 × 6371000     		do = 101.066655179491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61757108--0.61752314) × cos(-1.23355061) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.330889217153624 × 6371000     		du = 101.062084007334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23353475)-sin(-1.23355061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330904183711965-0.330889217153624)×R²
    abs(-0.61752314--0.61757108)×1.49665583404346e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.49665583404346e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.49665583404346e-05×40589641000000     		ar = 10211.954225349m²