Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52653 / 102463
↖ ↑ ↗
← S 70.669972°
W 35.384216°		 ← 101.10 m → S 70.669972°
W 35.381470°		 →
↑
101.11 m
↓
↑
101.11 m
↓
S 70.670881°
W 35.384216°		 ← 101.09 m →
10 222 m²		 S 70.670881°
W 35.381470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401714324951172 y=0.781734466552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401714324951172 × 217)
    floor (0.401714324951172 × 131072)
    floor (52653.5)     		tx = 52653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781734466552734 × 217)
    floor (0.781734466552734 × 131072)
    floor (102463.5)     		ty = 102463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52653 / 102463 ti = "17/52653/102463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52653/102463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52653 ÷ 217
    52653 ÷ 131072     		x = 0.401710510253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102463 ÷ 217
    102463 ÷ 131072     		y = 0.781730651855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401710510253906 × 2 - 1) × π
    -0.196578979492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.61757108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781730651855469 × 2 - 1) × π
    -0.563461303710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.77016589226981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61757108} λ = -0.61757108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77016589226981))-π/2
    2×atan(0.170304734242942)-π/2
    2×0.168686317018775-π/2
    0.337372634037549-1.57079632675     		φ = -1.23342369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61757108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.384216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23342369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.669972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52653 KachelY 102463 -0.61757108 -1.23342369 -35.384216 -70.669972
    Oben rechts KachelX + 1 52654 KachelY 102463 -0.61752314 -1.23342369 -35.381470 -70.669972
    Unten links KachelX 52653 KachelY + 1 102464 -0.61757108 -1.23343956 -35.384216 -70.670881
    Unten rechts KachelX + 1 52654 KachelY + 1 102464 -0.61752314 -1.23343956 -35.381470 -70.670881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23342369--1.23343956) × R
    1.58700000001399e-05 × 6371000     		dl = 101.107770000892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23342369--1.23343956) × R
    1.58700000001399e-05 × 6371000     		dr = 101.107770000892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61757108--0.61752314) × cos(-1.23342369) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.331008985034647 × 6371000     		do = 101.098664201024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61757108--0.61752314) × cos(-1.23343956) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.330994009622915 × 6371000     		du = 101.094090324814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23342369)-sin(-1.23343956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331008985034647-0.330994009622915)×R²
    abs(-0.61752314--0.61757108)×1.49754117314549e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.49754117314549e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.49754117314549e-05×40589641000000     		ar = 10221.6292606251m²