Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52652 / 102384
↖ ↑ ↗
← S 70.598021°
W 35.386963°		 ← 101.44 m → S 70.598021°
W 35.384216°		 →
↑
101.49 m
↓
↑
101.49 m
↓
S 70.598934°
W 35.386963°		 ← 101.43 m →
10 295 m²		 S 70.598934°
W 35.384216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401706695556641 y=0.781131744384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401706695556641 × 217)
    floor (0.401706695556641 × 131072)
    floor (52652.5)     		tx = 52652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781131744384766 × 217)
    floor (0.781131744384766 × 131072)
    floor (102384.5)     		ty = 102384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52652 / 102384 ti = "17/52652/102384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52652/102384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52652 ÷ 217
    52652 ÷ 131072     		x = 0.401702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102384 ÷ 217
    102384 ÷ 131072     		y = 0.7811279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401702880859375 × 2 - 1) × π
    -0.19659423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61761901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7811279296875 × 2 - 1) × π
    -0.562255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76637887719983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61761901} λ = -0.61761901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76637887719983))-π/2
    2×atan(0.17095090359229)-π/2
    2×0.1693142060792-π/2
    0.3386284121584-1.57079632675     		φ = -1.23216791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61761901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.386963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23216791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.598021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52652 KachelY 102384 -0.61761901 -1.23216791 -35.386963 -70.598021
    Oben rechts KachelX + 1 52653 KachelY 102384 -0.61757108 -1.23216791 -35.384216 -70.598021
    Unten links KachelX 52652 KachelY + 1 102385 -0.61761901 -1.23218384 -35.386963 -70.598934
    Unten rechts KachelX + 1 52653 KachelY + 1 102385 -0.61757108 -1.23218384 -35.384216 -70.598934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23216791--1.23218384) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dl = 101.490029999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23216791--1.23218384) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dr = 101.490029999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61761901--0.61757108) × cos(-1.23216791) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.33219371239581 × 6371000     		do = 101.439346370248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61761901--0.61757108) × cos(-1.23218384) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.332178686999502 × 6371000     		du = 101.43475818473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23216791)-sin(-1.23218384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33219371239581-0.332178686999502)×R²
    abs(-0.61757108--0.61761901)×1.50253963085434e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.50253963085434e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.50253963085434e-05×40589641000000     		ar = 10294.8494789036m²