Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52650 / 102385
↖ ↑ ↗
← S 70.598934°
W 35.392456°		 ← 101.46 m → S 70.598934°
W 35.389709°		 →
↑
101.43 m
↓
↑
101.43 m
↓
S 70.599846°
W 35.392456°		 ← 101.45 m →
10 290 m²		 S 70.599846°
W 35.389709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401691436767578 y=0.781139373779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401691436767578 × 217)
    floor (0.401691436767578 × 131072)
    floor (52650.5)     		tx = 52650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781139373779297 × 217)
    floor (0.781139373779297 × 131072)
    floor (102385.5)     		ty = 102385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52650 / 102385 ti = "17/52650/102385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52650/102385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52650 ÷ 217
    52650 ÷ 131072     		x = 0.401687622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102385 ÷ 217
    102385 ÷ 131072     		y = 0.781135559082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401687622070312 × 2 - 1) × π
    -0.196624755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61771489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781135559082031 × 2 - 1) × π
    -0.562271118164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.76642681409945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61771489} λ = -0.61771489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76642681409945))-π/2
    2×atan(0.170942708932399)-π/2
    2×0.169306244090983-π/2
    0.338612488181966-1.57079632675     		φ = -1.23218384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61771489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.392456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23218384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.598934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52650 KachelY 102385 -0.61771489 -1.23218384 -35.392456 -70.598934
    Oben rechts KachelX + 1 52651 KachelY 102385 -0.61766695 -1.23218384 -35.389709 -70.598934
    Unten links KachelX 52650 KachelY + 1 102386 -0.61771489 -1.23219976 -35.392456 -70.599846
    Unten rechts KachelX + 1 52651 KachelY + 1 102386 -0.61766695 -1.23219976 -35.389709 -70.599846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23218384--1.23219976) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dl = 101.42632000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23218384--1.23219976) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dr = 101.42632000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61771489--0.61766695) × cos(-1.23218384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332178686999502 × 6371000     		do = 101.455921288985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61771489--0.61766695) × cos(-1.23219976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332163670951115 × 6371000     		du = 101.451335001294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23218384)-sin(-1.23219976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332178686999502-0.332163670951115)×R²
    abs(-0.61766695--0.61771489)×1.50160483862183e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50160483862183e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50160483862183e-05×40589641000000     		ar = 10290.0681536803m²