Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52648 / 102472
↖ ↑ ↗
← S 70.678152°
W 35.397949°		 ← 101.04 m → S 70.678152°
W 35.395203°		 →
↑
101.04 m
↓
↑
101.04 m
↓
S 70.679061°
W 35.397949°		 ← 101.03 m →
10 209 m²		 S 70.679061°
W 35.395203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401676177978516 y=0.781803131103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401676177978516 × 217)
    floor (0.401676177978516 × 131072)
    floor (52648.5)     		tx = 52648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781803131103516 × 217)
    floor (0.781803131103516 × 131072)
    floor (102472.5)     		ty = 102472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52648 / 102472 ti = "17/52648/102472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52648/102472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52648 ÷ 217
    52648 ÷ 131072     		x = 0.40167236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102472 ÷ 217
    102472 ÷ 131072     		y = 0.78179931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40167236328125 × 2 - 1) × π
    -0.1966552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61781076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78179931640625 × 2 - 1) × π
    -0.5635986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77059732436639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61781076} λ = -0.61781076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77059732436639))-π/2
    2×atan(0.170231275161832)-π/2
    2×0.168614927602081-π/2
    0.337229855204162-1.57079632675     		φ = -1.23356647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61781076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.397949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23356647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.678152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52648 KachelY 102472 -0.61781076 -1.23356647 -35.397949 -70.678152
    Oben rechts KachelX + 1 52649 KachelY 102472 -0.61776283 -1.23356647 -35.395203 -70.678152
    Unten links KachelX 52648 KachelY + 1 102473 -0.61781076 -1.23358233 -35.397949 -70.679061
    Unten rechts KachelX + 1 52649 KachelY + 1 102473 -0.61776283 -1.23358233 -35.395203 -70.679061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23356647--1.23358233) × R
    1.58599999999787e-05 × 6371000     		dl = 101.044059999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23356647--1.23358233) × R
    1.58599999999787e-05 × 6371000     		dr = 101.044059999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61781076--0.61776283) × cos(-1.23356647) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.330874250512052 × 6371000     		do = 101.036432811151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61781076--0.61776283) × cos(-1.23358233) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.330859283787252 × 6371000     		du = 101.031862541683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23356647)-sin(-1.23358233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330874250512052-0.330859283787252)×R²
    abs(-0.61776283--0.61781076)×1.4966724800114e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.4966724800114e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.4966724800114e-05×40589641000000     		ar = 10208.9004800734m²