Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52647 / 102057
↖ ↑ ↗
← S 70.297452°
W 35.400696°		 ← 102.97 m → S 70.297452°
W 35.397949°		 →
↑
102.96 m
↓
↑
102.96 m
↓
S 70.298378°
W 35.400696°		 ← 102.97 m →
10 601 m²		 S 70.298378°
W 35.397949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401668548583984 y=0.778636932373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401668548583984 × 217)
    floor (0.401668548583984 × 131072)
    floor (52647.5)     		tx = 52647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778636932373047 × 217)
    floor (0.778636932373047 × 131072)
    floor (102057.5)     		ty = 102057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52647 / 102057 ti = "17/52647/102057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52647/102057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52647 ÷ 217
    52647 ÷ 131072     		x = 0.401664733886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102057 ÷ 217
    102057 ÷ 131072     		y = 0.778633117675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401664733886719 × 2 - 1) × π
    -0.196670532226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.61785870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778633117675781 × 2 - 1) × π
    -0.557266235351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.75070351102407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61785870} λ = -0.61785870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75070351102407))-π/2
    2×atan(0.173651734558223)-π/2
    2×0.171937165874213-π/2
    0.343874331748426-1.57079632675     		φ = -1.22692200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61785870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.400696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22692200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.297452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52647 KachelY 102057 -0.61785870 -1.22692200 -35.400696 -70.297452
    Oben rechts KachelX + 1 52648 KachelY 102057 -0.61781076 -1.22692200 -35.397949 -70.297452
    Unten links KachelX 52647 KachelY + 1 102058 -0.61785870 -1.22693816 -35.400696 -70.298378
    Unten rechts KachelX + 1 52648 KachelY + 1 102058 -0.61781076 -1.22693816 -35.397949 -70.298378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22692200--1.22693816) × R
    1.61599999999318e-05 × 6371000     		dl = 102.955359999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22692200--1.22693816) × R
    1.61599999999318e-05 × 6371000     		dr = 102.955359999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61785870--0.61781076) × cos(-1.22692200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33713711977926 × 6371000     		do = 102.970354289982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61785870--0.61781076) × cos(-1.22693816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337121905813468 × 6371000     		du = 102.965707553221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22692200)-sin(-1.22693816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33713711977926-0.337121905813468)×R²
    abs(-0.61781076--0.61785870)×1.5213965792682e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5213965792682e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5213965792682e-05×40589641000000     		ar = 10601.1106922416m²