Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52644 / 102467
↖ ↑ ↗
← S 70.673608°
W 35.408936°		 ← 101.08 m → S 70.673608°
W 35.406189°		 →
↑
101.04 m
↓
↑
101.04 m
↓
S 70.674517°
W 35.408936°		 ← 101.08 m →
10 213 m²		 S 70.674517°
W 35.406189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401645660400391 y=0.781764984130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401645660400391 × 217)
    floor (0.401645660400391 × 131072)
    floor (52644.5)     		tx = 52644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781764984130859 × 217)
    floor (0.781764984130859 × 131072)
    floor (102467.5)     		ty = 102467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52644 / 102467 ti = "17/52644/102467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52644/102467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52644 ÷ 217
    52644 ÷ 131072     		x = 0.401641845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102467 ÷ 217
    102467 ÷ 131072     		y = 0.781761169433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.19671630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61800251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781761169433594 × 2 - 1) × π
    -0.563522338867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.77035763986829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61800251} λ = -0.61800251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77035763986829))-π/2
    2×atan(0.17027208184975)-π/2
    2×0.168654584800941-π/2
    0.337309169601882-1.57079632675     		φ = -1.23348716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61800251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.408936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23348716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.673608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52644 KachelY 102467 -0.61800251 -1.23348716 -35.408936 -70.673608
    Oben rechts KachelX + 1 52645 KachelY 102467 -0.61795457 -1.23348716 -35.406189 -70.673608
    Unten links KachelX 52644 KachelY + 1 102468 -0.61800251 -1.23350302 -35.408936 -70.674517
    Unten rechts KachelX + 1 52645 KachelY + 1 102468 -0.61795457 -1.23350302 -35.406189 -70.674517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23348716--1.23350302) × R
    1.58599999999787e-05 × 6371000     		dl = 101.044059999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23348716--1.23350302) × R
    1.58599999999787e-05 × 6371000     		dr = 101.044059999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61800251--0.61795457) × cos(-1.23348716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330949092324044 × 6371000     		do = 101.080371425333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61800251--0.61795457) × cos(-1.23350302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330934126015474 × 6371000     		du = 101.075800329463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23348716)-sin(-1.23350302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330949092324044-0.330934126015474)×R²
    abs(-0.61795457--0.61800251)×1.49663085700635e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49663085700635e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49663085700635e-05×40589641000000     		ar = 10213.3401741977m²