Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52643 / 102047
↖ ↑ ↗
← S 70.288191°
W 35.411682°		 ← 103.02 m → S 70.288191°
W 35.408936°		 →
↑
102.96 m
↓
↑
102.96 m
↓
S 70.289116°
W 35.411682°		 ← 103.01 m →
10 606 m²		 S 70.289116°
W 35.408936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401638031005859 y=0.778560638427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401638031005859 × 217)
    floor (0.401638031005859 × 131072)
    floor (52643.5)     		tx = 52643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778560638427734 × 217)
    floor (0.778560638427734 × 131072)
    floor (102047.5)     		ty = 102047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52643 / 102047 ti = "17/52643/102047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52643/102047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52643 ÷ 217
    52643 ÷ 131072     		x = 0.401634216308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102047 ÷ 217
    102047 ÷ 131072     		y = 0.778556823730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401634216308594 × 2 - 1) × π
    -0.196731567382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.61805045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778556823730469 × 2 - 1) × π
    -0.557113647460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.75022414202787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61805045} λ = -0.61805045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75022414202787))-π/2
    2×atan(0.173734997771214)-π/2
    2×0.17201799065325-π/2
    0.3440359813065-1.57079632675     		φ = -1.22676035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61805045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.411682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22676035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.288191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52643 KachelY 102047 -0.61805045 -1.22676035 -35.411682 -70.288191
    Oben rechts KachelX + 1 52644 KachelY 102047 -0.61800251 -1.22676035 -35.408936 -70.288191
    Unten links KachelX 52643 KachelY + 1 102048 -0.61805045 -1.22677651 -35.411682 -70.289116
    Unten rechts KachelX + 1 52644 KachelY + 1 102048 -0.61800251 -1.22677651 -35.408936 -70.289116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22676035--1.22677651) × R
    1.61600000001538e-05 × 6371000     		dl = 102.95536000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22676035--1.22677651) × R
    1.61600000001538e-05 × 6371000     		dr = 102.95536000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61805045--0.61800251) × cos(-1.22676035) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.337289301664282 × 6371000     		do = 103.016834555067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61805045--0.61800251) × cos(-1.22677651) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.337274088579359 × 6371000     		du = 103.012188087347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22676035)-sin(-1.22677651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337289301664282-0.337274088579359)×R²
    abs(-0.61800251--0.61805045)×1.52130849228049e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.52130849228049e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.52130849228049e-05×40589641000000     		ar = 10605.8960986674m²