Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52642 / 102049
↖ ↑ ↗
← S 70.290043°
W 35.414428°		 ← 102.99 m → S 70.290043°
W 35.411682°		 →
↑
103.02 m
↓
↑
103.02 m
↓
S 70.290969°
W 35.414428°		 ← 102.98 m →
10 609 m²		 S 70.290969°
W 35.411682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401630401611328 y=0.778575897216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401630401611328 × 217)
    floor (0.401630401611328 × 131072)
    floor (52642.5)     		tx = 52642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778575897216797 × 217)
    floor (0.778575897216797 × 131072)
    floor (102049.5)     		ty = 102049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52642 / 102049 ti = "17/52642/102049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52642/102049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52642 ÷ 217
    52642 ÷ 131072     		x = 0.401626586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102049 ÷ 217
    102049 ÷ 131072     		y = 0.778572082519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401626586914062 × 2 - 1) × π
    -0.196746826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61809838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778572082519531 × 2 - 1) × π
    -0.557144165039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.75032001582711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61809838} λ = -0.61809838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75032001582711))-π/2
    2×atan(0.173718341935359)-π/2
    2×0.172001822779285-π/2
    0.344003645558569-1.57079632675     		φ = -1.22679268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61809838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.414428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22679268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.290043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52642 KachelY 102049 -0.61809838 -1.22679268 -35.414428 -70.290043
    Oben rechts KachelX + 1 52643 KachelY 102049 -0.61805045 -1.22679268 -35.411682 -70.290043
    Unten links KachelX 52642 KachelY + 1 102050 -0.61809838 -1.22680885 -35.414428 -70.290969
    Unten rechts KachelX + 1 52643 KachelY + 1 102050 -0.61805045 -1.22680885 -35.411682 -70.290969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22679268--1.22680885) × R
    1.61700000000931e-05 × 6371000     		dl = 103.019070000593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22679268--1.22680885) × R
    1.61700000000931e-05 × 6371000     		dr = 103.019070000593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61809838--0.61805045) × cos(-1.22679268) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.337258865992239 × 6371000     		do = 102.986051954713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61809838--0.61805045) × cos(-1.22680885) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.337243643316937 × 6371000     		du = 102.98140352768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22679268)-sin(-1.22680885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337258865992239-0.337243643316937)×R²
    abs(-0.61805045--0.61809838)×1.5222675302573e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.5222675302573e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.5222675302573e-05×40589641000000     		ar = 10609.2878572918m²