Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52641 / 102367
↖ ↑ ↗
← S 70.582505°
W 35.417175°		 ← 101.54 m → S 70.582505°
W 35.414428°		 →
↑
101.49 m
↓
↑
101.49 m
↓
S 70.583417°
W 35.417175°		 ← 101.53 m →
10 305 m²		 S 70.583417°
W 35.414428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401622772216797 y=0.781002044677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401622772216797 × 217)
    floor (0.401622772216797 × 131072)
    floor (52641.5)     		tx = 52641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781002044677734 × 217)
    floor (0.781002044677734 × 131072)
    floor (102367.5)     		ty = 102367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52641 / 102367 ti = "17/52641/102367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52641/102367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52641 ÷ 217
    52641 ÷ 131072     		x = 0.401618957519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102367 ÷ 217
    102367 ÷ 131072     		y = 0.780998229980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401618957519531 × 2 - 1) × π
    -0.196762084960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.61814632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780998229980469 × 2 - 1) × π
    -0.561996459960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.76556394990629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61814632} λ = -0.61814632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76556394990629))-π/2
    2×atan(0.171090272929708)-π/2
    2×0.169449614971508-π/2
    0.338899229943015-1.57079632675     		φ = -1.23189710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61814632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.417175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23189710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.582505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52641 KachelY 102367 -0.61814632 -1.23189710 -35.417175 -70.582505
    Oben rechts KachelX + 1 52642 KachelY 102367 -0.61809838 -1.23189710 -35.414428 -70.582505
    Unten links KachelX 52641 KachelY + 1 102368 -0.61814632 -1.23191303 -35.417175 -70.583417
    Unten rechts KachelX + 1 52642 KachelY + 1 102368 -0.61809838 -1.23191303 -35.414428 -70.583417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23189710--1.23191303) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dl = 101.490029999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23189710--1.23191303) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dr = 101.490029999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61814632--0.61809838) × cos(-1.23189710) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.332449131232181 × 6371000     		do = 101.538521919115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61814632--0.61809838) × cos(-1.23191303) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.332434107269476 × 6371000     		du = 101.533933214188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23189710)-sin(-1.23191303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332449131232181-0.332434107269476)×R²
    abs(-0.61809838--0.61814632)×1.50239627051962e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.50239627051962e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.50239627051962e-05×40589641000000     		ar = 10304.9147819961m²