Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52640 / 102368
↖ ↑ ↗
← S 70.583417°
W 35.419922°		 ← 101.53 m → S 70.583417°
W 35.417175°		 →
↑
101.55 m
↓
↑
101.55 m
↓
S 70.584331°
W 35.419922°		 ← 101.53 m →
10 311 m²		 S 70.584331°
W 35.417175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401615142822266 y=0.781009674072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401615142822266 × 217)
    floor (0.401615142822266 × 131072)
    floor (52640.5)     		tx = 52640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781009674072266 × 217)
    floor (0.781009674072266 × 131072)
    floor (102368.5)     		ty = 102368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52640 / 102368 ti = "17/52640/102368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52640/102368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52640 ÷ 217
    52640 ÷ 131072     		x = 0.401611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102368 ÷ 217
    102368 ÷ 131072     		y = 0.781005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401611328125 × 2 - 1) × π
    -0.19677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61819426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781005859375 × 2 - 1) × π
    -0.56201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76561188680591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61819426} λ = -0.61819426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76561188680591))-π/2
    2×atan(0.171082071589044)-π/2
    2×0.169441646861242-π/2
    0.338883293722484-1.57079632675     		φ = -1.23191303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61819426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.419922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23191303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.583417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52640 KachelY 102368 -0.61819426 -1.23191303 -35.419922 -70.583417
    Oben rechts KachelX + 1 52641 KachelY 102368 -0.61814632 -1.23191303 -35.417175 -70.583417
    Unten links KachelX 52640 KachelY + 1 102369 -0.61819426 -1.23192897 -35.419922 -70.584331
    Unten rechts KachelX + 1 52641 KachelY + 1 102369 -0.61814632 -1.23192897 -35.417175 -70.584331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23191303--1.23192897) × R
    1.59399999999366e-05 × 6371000     		dl = 101.553739999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23191303--1.23192897) × R
    1.59399999999366e-05 × 6371000     		dr = 101.553739999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61819426--0.61814632) × cos(-1.23191303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332434107269476 × 6371000     		do = 101.533933213952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61819426--0.61814632) × cos(-1.23192897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332419073791093 × 6371000     		du = 101.529341602692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23191303)-sin(-1.23192897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332434107269476-0.332419073791093)×R²
    abs(-0.61814632--0.61819426)×1.50334783831085e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50334783831085e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50334783831085e-05×40589641000000     		ar = 10310.9175072733m²