Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52639 / 102483
↖ ↑ ↗
← S 70.688147°
W 35.422668°		 ← 100.99 m → S 70.688147°
W 35.419922°		 →
↑
100.98 m
↓
↑
100.98 m
↓
S 70.689055°
W 35.422668°		 ← 100.98 m →
10 197 m²		 S 70.689055°
W 35.419922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401607513427734 y=0.781887054443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401607513427734 × 217)
    floor (0.401607513427734 × 131072)
    floor (52639.5)     		tx = 52639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781887054443359 × 217)
    floor (0.781887054443359 × 131072)
    floor (102483.5)     		ty = 102483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52639 / 102483 ti = "17/52639/102483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52639/102483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52639 ÷ 217
    52639 ÷ 131072     		x = 0.401603698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102483 ÷ 217
    102483 ÷ 131072     		y = 0.781883239746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401603698730469 × 2 - 1) × π
    -0.196792602539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.61824219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781883239746094 × 2 - 1) × π
    -0.563766479492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.77112463026221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61824219} λ = -0.61824219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77112463026221))-π/2
    2×atan(0.170141534869159)-π/2
    2×0.168527713332326-π/2
    0.337055426664651-1.57079632675     		φ = -1.23374090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61824219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.422668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23374090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.688147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52639 KachelY 102483 -0.61824219 -1.23374090 -35.422668 -70.688147
    Oben rechts KachelX + 1 52640 KachelY 102483 -0.61819426 -1.23374090 -35.419922 -70.688147
    Unten links KachelX 52639 KachelY + 1 102484 -0.61824219 -1.23375675 -35.422668 -70.689055
    Unten rechts KachelX + 1 52640 KachelY + 1 102484 -0.61819426 -1.23375675 -35.419922 -70.689055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23374090--1.23375675) × R
    1.58500000000394e-05 × 6371000     		dl = 100.980350000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23374090--1.23375675) × R
    1.58500000000394e-05 × 6371000     		dr = 100.980350000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61824219--0.61819426) × cos(-1.23374090) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.330709640274517 × 6371000     		do = 100.986167094858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61824219--0.61819426) × cos(-1.23375675) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.330694682071993 × 6371000     		du = 100.98159942777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23374090)-sin(-1.23375675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330709640274517-0.330694682071993)×R²
    abs(-0.61819426--0.61824219)×1.49582025241179e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49582025241179e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49582025241179e-05×40589641000000     		ar = 10197.3878761673m²