Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52636 / 102482
↖ ↑ ↗
← S 70.687238°
W 35.430908°		 ← 101.01 m → S 70.687238°
W 35.428162°		 →
↑
100.98 m
↓
↑
100.98 m
↓
S 70.688147°
W 35.430908°		 ← 101.01 m →
10 200 m²		 S 70.688147°
W 35.428162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401584625244141 y=0.781879425048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401584625244141 × 217)
    floor (0.401584625244141 × 131072)
    floor (52636.5)     		tx = 52636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781879425048828 × 217)
    floor (0.781879425048828 × 131072)
    floor (102482.5)     		ty = 102482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52636 / 102482 ti = "17/52636/102482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52636/102482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52636 ÷ 217
    52636 ÷ 131072     		x = 0.401580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102482 ÷ 217
    102482 ÷ 131072     		y = 0.781875610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.19683837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61838601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781875610351562 × 2 - 1) × π
    -0.563751220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77107669336259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61838601} λ = -0.61838601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77107669336259))-π/2
    2×atan(0.170149691122328)-π/2
    2×0.168535640109038-π/2
    0.337071280218076-1.57079632675     		φ = -1.23372505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61838601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.430908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23372505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.687238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52636 KachelY 102482 -0.61838601 -1.23372505 -35.430908 -70.687238
    Oben rechts KachelX + 1 52637 KachelY 102482 -0.61833807 -1.23372505 -35.428162 -70.687238
    Unten links KachelX 52636 KachelY + 1 102483 -0.61838601 -1.23374090 -35.430908 -70.688147
    Unten rechts KachelX + 1 52637 KachelY + 1 102483 -0.61833807 -1.23374090 -35.428162 -70.688147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23372505--1.23374090) × R
    1.58499999998174e-05 × 6371000     		dl = 100.980349998837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23372505--1.23374090) × R
    1.58499999998174e-05 × 6371000     		dr = 100.980349998837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61838601--0.61833807) × cos(-1.23372505) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.330724598393959 × 6371000     		do = 101.011805200846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61838601--0.61833807) × cos(-1.23374090) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.330709640274517 × 6371000     		du = 101.007236606146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23372505)-sin(-1.23374090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330724598393959-0.330709640274517)×R²
    abs(-0.61833807--0.61838601)×1.49581194421877e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.49581194421877e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.49581194421877e-05×40589641000000     		ar = 10199.9767743532m²