Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52636 / 102476
↖ ↑ ↗
← S 70.681787°
W 35.430908°		 ← 101.04 m → S 70.681787°
W 35.428162°		 →
↑
101.04 m
↓
↑
101.04 m
↓
S 70.682696°
W 35.430908°		 ← 101.03 m →
10 209 m²		 S 70.682696°
W 35.428162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401584625244141 y=0.781833648681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401584625244141 × 217)
    floor (0.401584625244141 × 131072)
    floor (52636.5)     		tx = 52636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781833648681641 × 217)
    floor (0.781833648681641 × 131072)
    floor (102476.5)     		ty = 102476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52636 / 102476 ti = "17/52636/102476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52636/102476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52636 ÷ 217
    52636 ÷ 131072     		x = 0.401580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102476 ÷ 217
    102476 ÷ 131072     		y = 0.781829833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.19683837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61838601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781829833984375 × 2 - 1) × π
    -0.56365966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77078907196487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61838601} λ = -0.61838601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77078907196487))-π/2
    2×atan(0.170198636852893)-π/2
    2×0.168583208300628-π/2
    0.337166416601256-1.57079632675     		φ = -1.23362991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61838601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.430908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23362991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.681787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52636 KachelY 102476 -0.61838601 -1.23362991 -35.430908 -70.681787
    Oben rechts KachelX + 1 52637 KachelY 102476 -0.61833807 -1.23362991 -35.428162 -70.681787
    Unten links KachelX 52636 KachelY + 1 102477 -0.61838601 -1.23364577 -35.430908 -70.682696
    Unten rechts KachelX + 1 52637 KachelY + 1 102477 -0.61833807 -1.23364577 -35.428162 -70.682696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23362991--1.23364577) × R
    1.58599999999787e-05 × 6371000     		dl = 101.044059999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23362991--1.23364577) × R
    1.58599999999787e-05 × 6371000     		dr = 101.044059999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61838601--0.61833807) × cos(-1.23362991) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.330814383113521 × 6371000     		do = 101.039227765258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61838601--0.61833807) × cos(-1.23364577) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.330799416055847 × 6371000     		du = 101.034656440593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23362991)-sin(-1.23364577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330814383113521-0.330799416055847)×R²
    abs(-0.61833807--0.61838601)×1.49670576743421e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.49670576743421e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.49670576743421e-05×40589641000000     		ar = 10209.1828402544m²