Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52635 / 102484
↖ ↑ ↗
← S 70.689055°
W 35.433655°		 ← 100.98 m → S 70.689055°
W 35.430908°		 →
↑
101.04 m
↓
↑
101.04 m
↓
S 70.689963°
W 35.433655°		 ← 100.98 m →
10 203 m²		 S 70.689963°
W 35.430908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401576995849609 y=0.781894683837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401576995849609 × 217)
    floor (0.401576995849609 × 131072)
    floor (52635.5)     		tx = 52635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781894683837891 × 217)
    floor (0.781894683837891 × 131072)
    floor (102484.5)     		ty = 102484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52635 / 102484 ti = "17/52635/102484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52635/102484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52635 ÷ 217
    52635 ÷ 131072     		x = 0.401573181152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102484 ÷ 217
    102484 ÷ 131072     		y = 0.781890869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401573181152344 × 2 - 1) × π
    -0.196853637695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.61843394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781890869140625 × 2 - 1) × π
    -0.56378173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77117256716183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61843394} λ = -0.61843394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77117256716183))-π/2
    2×atan(0.170133379006965)-π/2
    2×0.16851978691421-π/2
    0.33703957382842-1.57079632675     		φ = -1.23375675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61843394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.433655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23375675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.689055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52635 KachelY 102484 -0.61843394 -1.23375675 -35.433655 -70.689055
    Oben rechts KachelX + 1 52636 KachelY 102484 -0.61838601 -1.23375675 -35.430908 -70.689055
    Unten links KachelX 52635 KachelY + 1 102485 -0.61843394 -1.23377261 -35.433655 -70.689963
    Unten rechts KachelX + 1 52636 KachelY + 1 102485 -0.61838601 -1.23377261 -35.430908 -70.689963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23375675--1.23377261) × R
    1.58599999999787e-05 × 6371000     		dl = 101.044059999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23375675--1.23377261) × R
    1.58599999999787e-05 × 6371000     		dr = 101.044059999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61843394--0.61838601) × cos(-1.23375675) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.330694682071993 × 6371000     		do = 100.981599427536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61843394--0.61838601) × cos(-1.23377261) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.330679714348961 × 6371000     		du = 100.977028853247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23375675)-sin(-1.23377261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330694682071993-0.330679714348961)×R²
    abs(-0.61838601--0.61843394)×1.49677230323331e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.49677230323331e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.49677230323331e-05×40589641000000     		ar = 10203.359877097m²