Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52635 / 102175
↖ ↑ ↗
← S 70.406427°
W 35.433655°		 ← 102.40 m → S 70.406427°
W 35.430908°		 →
↑
102.38 m
↓
↑
102.38 m
↓
S 70.407347°
W 35.433655°		 ← 102.40 m →
10 484 m²		 S 70.407347°
W 35.430908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401576995849609 y=0.779537200927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401576995849609 × 217)
    floor (0.401576995849609 × 131072)
    floor (52635.5)     		tx = 52635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779537200927734 × 217)
    floor (0.779537200927734 × 131072)
    floor (102175.5)     		ty = 102175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52635 / 102175 ti = "17/52635/102175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52635/102175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52635 ÷ 217
    52635 ÷ 131072     		x = 0.401573181152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102175 ÷ 217
    102175 ÷ 131072     		y = 0.779533386230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401573181152344 × 2 - 1) × π
    -0.196853637695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.61843394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779533386230469 × 2 - 1) × π
    -0.559066772460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.75636006517924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61843394} λ = -0.61843394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75636006517924))-π/2
    2×atan(0.172672237019707)-π/2
    2×0.17098618367388-π/2
    0.341972367347761-1.57079632675     		φ = -1.22882396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61843394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.433655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22882396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.406427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52635 KachelY 102175 -0.61843394 -1.22882396 -35.433655 -70.406427
    Oben rechts KachelX + 1 52636 KachelY 102175 -0.61838601 -1.22882396 -35.430908 -70.406427
    Unten links KachelX 52635 KachelY + 1 102176 -0.61843394 -1.22884003 -35.433655 -70.407347
    Unten rechts KachelX + 1 52636 KachelY + 1 102176 -0.61838601 -1.22884003 -35.430908 -70.407347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22882396--1.22884003) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dl = 102.381970000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22882396--1.22884003) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dr = 102.381970000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61843394--0.61838601) × cos(-1.22882396) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.335345900262553 × 6371000     		do = 102.401904856176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61843394--0.61838601) × cos(-1.22884003) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.335330760751424 × 6371000     		du = 102.397281824325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22882396)-sin(-1.22884003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335345900262553-0.335330760751424)×R²
    abs(-0.61838601--0.61843394)×1.51395111283592e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.51395111283592e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.51395111283592e-05×40589641000000     		ar = 10483.8720937404m²