Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52633 / 102477
↖ ↑ ↗
← S 70.682696°
W 35.439148°		 ← 101.03 m → S 70.682696°
W 35.436401°		 →
↑
101.04 m
↓
↑
101.04 m
↓
S 70.683605°
W 35.439148°		 ← 101.03 m →
10 209 m²		 S 70.683605°
W 35.436401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401561737060547 y=0.781841278076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401561737060547 × 217)
    floor (0.401561737060547 × 131072)
    floor (52633.5)     		tx = 52633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781841278076172 × 217)
    floor (0.781841278076172 × 131072)
    floor (102477.5)     		ty = 102477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52633 / 102477 ti = "17/52633/102477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52633/102477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52633 ÷ 217
    52633 ÷ 131072     		x = 0.401557922363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102477 ÷ 217
    102477 ÷ 131072     		y = 0.781837463378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401557922363281 × 2 - 1) × π
    -0.196884155273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.61852982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781837463378906 × 2 - 1) × π
    -0.563674926757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.77083700886449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61852982} λ = -0.61852982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77083700886449))-π/2
    2×atan(0.170190478253473)-π/2
    2×0.16857527937204-π/2
    0.337150558744079-1.57079632675     		φ = -1.23364577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61852982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.439148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23364577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.682696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52633 KachelY 102477 -0.61852982 -1.23364577 -35.439148 -70.682696
    Oben rechts KachelX + 1 52634 KachelY 102477 -0.61848188 -1.23364577 -35.436401 -70.682696
    Unten links KachelX 52633 KachelY + 1 102478 -0.61852982 -1.23366163 -35.439148 -70.683605
    Unten rechts KachelX + 1 52634 KachelY + 1 102478 -0.61848188 -1.23366163 -35.436401 -70.683605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23364577--1.23366163) × R
    1.58599999999787e-05 × 6371000     		dl = 101.044059999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23364577--1.23366163) × R
    1.58599999999787e-05 × 6371000     		dr = 101.044059999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61852982--0.61848188) × cos(-1.23364577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330799416055847 × 6371000     		do = 101.034656440359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61852982--0.61848188) × cos(-1.23366163) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330784448914963 × 6371000     		du = 101.030085090279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23364577)-sin(-1.23366163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330799416055847-0.330784448914963)×R²
    abs(-0.61848188--0.61852982)×1.49671408835039e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49671408835039e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49671408835039e-05×40589641000000     		ar = 10208.7209336775m²