Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52631 / 102175
↖ ↑ ↗
← S 70.406427°
W 35.444641°		 ← 102.42 m → S 70.406427°
W 35.441894°		 →
↑
102.38 m
↓
↑
102.38 m
↓
S 70.407347°
W 35.444641°		 ← 102.42 m →
10 486 m²		 S 70.407347°
W 35.441894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401546478271484 y=0.779537200927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401546478271484 × 217)
    floor (0.401546478271484 × 131072)
    floor (52631.5)     		tx = 52631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779537200927734 × 217)
    floor (0.779537200927734 × 131072)
    floor (102175.5)     		ty = 102175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52631 / 102175 ti = "17/52631/102175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52631/102175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52631 ÷ 217
    52631 ÷ 131072     		x = 0.401542663574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102175 ÷ 217
    102175 ÷ 131072     		y = 0.779533386230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401542663574219 × 2 - 1) × π
    -0.196914672851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.61862569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779533386230469 × 2 - 1) × π
    -0.559066772460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.75636006517924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61862569} λ = -0.61862569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75636006517924))-π/2
    2×atan(0.172672237019707)-π/2
    2×0.17098618367388-π/2
    0.341972367347761-1.57079632675     		φ = -1.22882396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61862569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.444641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22882396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.406427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52631 KachelY 102175 -0.61862569 -1.22882396 -35.444641 -70.406427
    Oben rechts KachelX + 1 52632 KachelY 102175 -0.61857775 -1.22882396 -35.441894 -70.406427
    Unten links KachelX 52631 KachelY + 1 102176 -0.61862569 -1.22884003 -35.444641 -70.407347
    Unten rechts KachelX + 1 52632 KachelY + 1 102176 -0.61857775 -1.22884003 -35.441894 -70.407347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22882396--1.22884003) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dl = 102.381970000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22882396--1.22884003) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dr = 102.381970000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61862569--0.61857775) × cos(-1.22882396) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335345900262553 × 6371000     		do = 102.423269743589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61862569--0.61857775) × cos(-1.22884003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335330760751424 × 6371000     		du = 102.4186457472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22882396)-sin(-1.22884003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335345900262553-0.335330760751424)×R²
    abs(-0.61857775--0.61862569)×1.51395111283592e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51395111283592e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51395111283592e-05×40589641000000     		ar = 10486.059423627m²