Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52629 / 102166
↖ ↑ ↗
← S 70.398135°
W 35.450134°		 ← 102.44 m → S 70.398135°
W 35.447388°		 →
↑
102.45 m
↓
↑
102.45 m
↓
S 70.399057°
W 35.450134°		 ← 102.44 m →
10 495 m²		 S 70.399057°
W 35.447388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401531219482422 y=0.779468536376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401531219482422 × 217)
    floor (0.401531219482422 × 131072)
    floor (52629.5)     		tx = 52629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779468536376953 × 217)
    floor (0.779468536376953 × 131072)
    floor (102166.5)     		ty = 102166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52629 / 102166 ti = "17/52629/102166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52629/102166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52629 ÷ 217
    52629 ÷ 131072     		x = 0.401527404785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102166 ÷ 217
    102166 ÷ 131072     		y = 0.779464721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401527404785156 × 2 - 1) × π
    -0.196945190429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.61872156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779464721679688 × 2 - 1) × π
    -0.558929443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75592863308266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61872156} λ = -0.61872156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75592863308266))-π/2
    2×atan(0.172746749437314)-π/2
    2×0.171058537869342-π/2
    0.342117075738685-1.57079632675     		φ = -1.22867925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61872156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.450134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22867925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.398135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52629 KachelY 102166 -0.61872156 -1.22867925 -35.450134 -70.398135
    Oben rechts KachelX + 1 52630 KachelY 102166 -0.61867363 -1.22867925 -35.447388 -70.398135
    Unten links KachelX 52629 KachelY + 1 102167 -0.61872156 -1.22869533 -35.450134 -70.399057
    Unten rechts KachelX + 1 52630 KachelY + 1 102167 -0.61867363 -1.22869533 -35.447388 -70.399057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22867925--1.22869533) × R
    1.60800000001959e-05 × 6371000     		dl = 102.445680001248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22867925--1.22869533) × R
    1.60800000001959e-05 × 6371000     		dr = 102.445680001248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61872156--0.61867363) × cos(-1.22867925) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.335482227328901 × 6371000     		do = 102.443533966137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61872156--0.61867363) × cos(-1.22869533) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.335467079177237 × 6371000     		du = 102.438908295795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22867925)-sin(-1.22869533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335482227328901-0.335467079177237)×R²
    abs(-0.61867363--0.61872156)×1.51481516634244e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51481516634244e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51481516634244e-05×40589641000000     		ar = 10494.6605592264m²