Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52625 / 102449
↖ ↑ ↗
← S 70.657240°
W 35.461121°		 ← 101.16 m → S 70.657240°
W 35.458374°		 →
↑
101.11 m
↓
↑
101.11 m
↓
S 70.658149°
W 35.461121°		 ← 101.16 m →
10 228 m²		 S 70.658149°
W 35.458374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401500701904297 y=0.781627655029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401500701904297 × 217)
    floor (0.401500701904297 × 131072)
    floor (52625.5)     		tx = 52625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781627655029297 × 217)
    floor (0.781627655029297 × 131072)
    floor (102449.5)     		ty = 102449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52625 / 102449 ti = "17/52625/102449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52625/102449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52625 ÷ 217
    52625 ÷ 131072     		x = 0.401496887207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102449 ÷ 217
    102449 ÷ 131072     		y = 0.781623840332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401496887207031 × 2 - 1) × π
    -0.197006225585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.61891331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781623840332031 × 2 - 1) × π
    -0.563247680664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.76949477567513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61891331} λ = -0.61891331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76949477567513))-π/2
    2×atan(0.170419066937238)-π/2
    2×0.16879742500616-π/2
    0.33759485001232-1.57079632675     		φ = -1.23320148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61891331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.461121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23320148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.657240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52625 KachelY 102449 -0.61891331 -1.23320148 -35.461121 -70.657240
    Oben rechts KachelX + 1 52626 KachelY 102449 -0.61886537 -1.23320148 -35.458374 -70.657240
    Unten links KachelX 52625 KachelY + 1 102450 -0.61891331 -1.23321735 -35.461121 -70.658149
    Unten rechts KachelX + 1 52626 KachelY + 1 102450 -0.61886537 -1.23321735 -35.458374 -70.658149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23320148--1.23321735) × R
    1.58700000001399e-05 × 6371000     		dl = 101.107770000892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23320148--1.23321735) × R
    1.58700000001399e-05 × 6371000     		dr = 101.107770000892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61891331--0.61886537) × cos(-1.23320148) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.331218660350267 × 6371000     		do = 101.162704439457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61891331--0.61886537) × cos(-1.23321735) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.331203686106173 × 6371000     		du = 101.158130919873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23320148)-sin(-1.23321735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331218660350267-0.331203686106173)×R²
    abs(-0.61886537--0.61891331)×1.49742440940237e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.49742440940237e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.49742440940237e-05×40589641000000     		ar = 10228.104243997m²