Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52624 / 102448
↖ ↑ ↗
← S 70.656330°
W 35.463867°		 ← 101.17 m → S 70.656330°
W 35.461121°		 →
↑
101.17 m
↓
↑
101.17 m
↓
S 70.657240°
W 35.463867°		 ← 101.16 m →
10 235 m²		 S 70.657240°
W 35.461121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401493072509766 y=0.781620025634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401493072509766 × 217)
    floor (0.401493072509766 × 131072)
    floor (52624.5)     		tx = 52624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781620025634766 × 217)
    floor (0.781620025634766 × 131072)
    floor (102448.5)     		ty = 102448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52624 / 102448 ti = "17/52624/102448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52624/102448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52624 ÷ 217
    52624 ÷ 131072     		x = 0.4014892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102448 ÷ 217
    102448 ÷ 131072     		y = 0.7816162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4014892578125 × 2 - 1) × π
    -0.197021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61896125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7816162109375 × 2 - 1) × π
    -0.563232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76944683877551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61896125} λ = -0.61896125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76944683877551))-π/2
    2×atan(0.170427236494754)-π/2
    2×0.168805363983612-π/2
    0.337610727967224-1.57079632675     		φ = -1.23318560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61896125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.463867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23318560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.656330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52624 KachelY 102448 -0.61896125 -1.23318560 -35.463867 -70.656330
    Oben rechts KachelX + 1 52625 KachelY 102448 -0.61891331 -1.23318560 -35.461121 -70.656330
    Unten links KachelX 52624 KachelY + 1 102449 -0.61896125 -1.23320148 -35.463867 -70.657240
    Unten rechts KachelX + 1 52625 KachelY + 1 102449 -0.61891331 -1.23320148 -35.461121 -70.657240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23318560--1.23320148) × R
    1.58799999998571e-05 × 6371000     		dl = 101.17147999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23318560--1.23320148) × R
    1.58799999998571e-05 × 6371000     		dr = 101.17147999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61896125--0.61891331) × cos(-1.23318560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331233643946428 × 6371000     		do = 101.167280815168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61896125--0.61891331) × cos(-1.23320148) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331218660350267 × 6371000     		du = 101.162704439222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23318560)-sin(-1.23320148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331233643946428-0.331218660350267)×R²
    abs(-0.61891331--0.61896125)×1.49835961616995e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49835961616995e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49835961616995e-05×40589641000000     		ar = 10235.0120284105m²