Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52623 / 102125
↖ ↑ ↗
← S 70.360322°
W 35.466613°		 ← 102.63 m → S 70.360322°
W 35.463867°		 →
↑
102.64 m
↓
↑
102.64 m
↓
S 70.361245°
W 35.466613°		 ← 102.63 m →
10 534 m²		 S 70.361245°
W 35.463867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401485443115234 y=0.779155731201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401485443115234 × 217)
    floor (0.401485443115234 × 131072)
    floor (52623.5)     		tx = 52623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779155731201172 × 217)
    floor (0.779155731201172 × 131072)
    floor (102125.5)     		ty = 102125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52623 / 102125 ti = "17/52623/102125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52623/102125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52623 ÷ 217
    52623 ÷ 131072     		x = 0.401481628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102125 ÷ 217
    102125 ÷ 131072     		y = 0.779151916503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401481628417969 × 2 - 1) × π
    -0.197036743164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.61900918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779151916503906 × 2 - 1) × π
    -0.558303833007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.75396322019823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61900918} λ = -0.61900918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75396322019823))-π/2
    2×atan(0.173086601990293)-π/2
    2×0.171388523782393-π/2
    0.342777047564785-1.57079632675     		φ = -1.22801928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61900918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.466613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22801928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.360322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52623 KachelY 102125 -0.61900918 -1.22801928 -35.466613 -70.360322
    Oben rechts KachelX + 1 52624 KachelY 102125 -0.61896125 -1.22801928 -35.463867 -70.360322
    Unten links KachelX 52623 KachelY + 1 102126 -0.61900918 -1.22803539 -35.466613 -70.361245
    Unten rechts KachelX + 1 52624 KachelY + 1 102126 -0.61896125 -1.22803539 -35.463867 -70.361245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22801928--1.22803539) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dl = 102.636810000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22801928--1.22803539) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dr = 102.636810000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61900918--0.61896125) × cos(-1.22801928) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336103876674452 × 6371000     		do = 102.633362072243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61900918--0.61896125) × cos(-1.22803539) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336088703831341 × 6371000     		du = 102.62872886207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22801928)-sin(-1.22803539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336103876674452-0.336088703831341)×R²
    abs(-0.61896125--0.61900918)×1.51728431109222e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51728431109222e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51728431109222e-05×40589641000000     		ar = 10533.723114048m²