Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52618 / 102120
↖ ↑ ↗
← S 70.355706°
W 35.480347°		 ← 102.68 m → S 70.355706°
W 35.477600°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
S 70.356629°
W 35.480347°		 ← 102.67 m →
10 545 m²		 S 70.356629°
W 35.477600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401447296142578 y=0.779117584228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401447296142578 × 217)
    floor (0.401447296142578 × 131072)
    floor (52618.5)     		tx = 52618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779117584228516 × 217)
    floor (0.779117584228516 × 131072)
    floor (102120.5)     		ty = 102120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52618 / 102120 ti = "17/52618/102120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52618/102120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52618 ÷ 217
    52618 ÷ 131072     		x = 0.401443481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102120 ÷ 217
    102120 ÷ 131072     		y = 0.77911376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401443481445312 × 2 - 1) × π
    -0.197113037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61924887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77911376953125 × 2 - 1) × π
    -0.5582275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75372353570013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61924887} λ = -0.61924887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75372353570013))-π/2
    2×atan(0.173128093137813)-π/2
    2×0.171428807773631-π/2
    0.342857615547262-1.57079632675     		φ = -1.22793871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61924887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.480347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22793871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.355706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52618 KachelY 102120 -0.61924887 -1.22793871 -35.480347 -70.355706
    Oben rechts KachelX + 1 52619 KachelY 102120 -0.61920093 -1.22793871 -35.477600 -70.355706
    Unten links KachelX 52618 KachelY + 1 102121 -0.61924887 -1.22795483 -35.480347 -70.356629
    Unten rechts KachelX + 1 52619 KachelY + 1 102121 -0.61920093 -1.22795483 -35.477600 -70.356629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22793871--1.22795483) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dl = 102.7005199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22793871--1.22795483) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dr = 102.7005199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61924887--0.61920093) × cos(-1.22793871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336179758417439 × 6371000     		do = 102.6779514876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61924887--0.61920093) × cos(-1.22795483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336164576592592 × 6371000     		du = 102.673314567512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22793871)-sin(-1.22795483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336179758417439-0.336164576592592)×R²
    abs(-0.61920093--0.61924887)×1.51818248469993e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51818248469993e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51818248469993e-05×40589641000000     		ar = 10544.8409033786m²